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Potenzfunktion/ganzrationale Funktion Unterschied

Schüler Gymnasium,

Tags: Definition, Funktionsklassen, unterschied

anonymous

20:30 Uhr, 04.09.2015

Abend,
zwei Fragen: Ist mit einer Potenzfunktion eine ganzrationale Funktion gemeint?
Und ist eine ganzrationale Funktion zum Beispiel

x^{1}, x^{2}, x^{3},

etc.?
Denn

x^{- 1}

wäre eine gebrochenrationale Funktion, vermute ich.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Roman-22

20:39 Uhr, 04.09.2015

Na, heute zu bequem, die Suchmaschine deines Vertrauens anzuwerfen?

\to

duckduckgo.com/?q=ganzrationale+Funktion
Ganz oben findet sich: "Eine ganzrationale Funktion oder Polynomfunktion ist in der Mathematik eine Summe von Potenzfunktionen mit natürlichen Exponenten."

Also:

>

Ist mit einer Potenzfunktion eine ganzrationale Funktion gemeint?
Nein, eine ganzrationale Funktion ist allgemeiner, da es eine Summe von Potenzfunktionen sein kann. Aber jede Potenzfunktion mit natürlichem Exponenten ist natürlich eine ganzrationale Funktion (aber nicht umgekehrt).

>

Und ist eine ganzrationale Funktion zum Beispiel

x^{1}, x^{2}, x^{3},

etc.?
Ja, aber auch Summen wie etwa

f (x) := 10 \cdot x^{5} - 3 \cdot x^{3} + 17

Streng genommen ist die Antwort auf deine Frage ja eigentlich nein, denn

x^{2}

ist ein Term, keine Funktion. ;-)

>

Denn

x^{- 1}

wäre eine gebrochenrationale Funktion, vermute ich.

f (x) = x^{- 1},

ja, du vermutest richtig. Sogar eine echt gebrochenrationale Funktion, da bei

\frac{1}{x}

der Grad des Zählers

(0)

kleiner als jener des Nenners

(1)

ist.

Also:
Potenzfunktion:

x \mapsto a \cdot x^{r}

Ganzrationale Funktion (=Polynomfunktion):

x \mapsto \sum_{k = 0}^{n} (a_{k} \cdot x^{k})

Gebrochenrationale Funktion:

x \mapsto \frac{\sum_{k = 0}^{n} (a_{k} \cdot x^{k})}{\sum_{k = 0}^{m} (b_{k} \cdot x^{k})}

Jeweils mit

a, r, a_{k}, b_{k} \in ℝ

und

n, m \in ℕ

R

anonymous

20:55 Uhr, 04.09.2015

Keine Sorge, Roman-22, ich hatte schon ein bisschen im Internet und einem Buch geguckt. :-)
Jetzt sage ich dir, was mich am meisten verwirrt hat bei Wikipedia:

,,Als Potenzfunktionen bezeichnet man elementare mathematische Funktionen der Form

f (x) = a \cdot x^{r} \forall a \in ℝ \land r \in ℝ

"

( de.wikipedia.org/wiki/Potenzfunktion

Daraus könnte ich folgern, dass

x^{\frac{2}{3}}

eine ganzrationale Funktion ist. Aber dem ist ja nicht so!

Und noch etwas: Warum sagt man anstatt ,,ganzrationale Funktion" nicht ,,natürlich Funktion"? Denn

- 2

ist doch eine ganzrationale Zahl, oder nicht? Aber

x^{- 2}

ist keine ganzratioanale Funktion, wie du mir in der ersten Antwort gesagt hast.

Danke im Voraus!
NeymarJunior

Roman-22

21:04 Uhr, 04.09.2015

>

Daraus könnte ich folgern, dass

x^{\frac{2}{3}}

eine ganzrationale Funktion ist.
Nein, ich hab meinen Post oben gerade etwas erweitert. Wie schon eingangs geschrieben ist es Voraussetzung für eine ganzrationale Funktion, dass der Exponent (die Exponenten) natürliche Zahlen (da ist nach DIN die Null dabei) ist (sind).

>

Und noch etwas: Warum sagt man anstatt ,,ganzrationale Funktion" nicht ,,natürlich Funktion"?
Warum hast du den Vornamen, den du eben hast und keinen anderen, obwohl jemand den du kennen lernst vielleicht findet, dass ein anderer besser zu dir passt. Ich weiß nicht, wer sich den Namen "ganzrational" ausgedacht hat. "ganz" ist nicht unlogisch, es soll kein

x

im Nenner stehen. Und mit "rational" hat der Namensgeber vielleicht ausdrücken wollen, dass nur Rechenoperationen vorkommen, die aus einer rationalen Zahl wieder eine rationale machen. Was nicht bedeutet, dass ein Koeffizient nicht auch irrational sein dürfe.

x \mapsto 2 x^{3} + π \cdot x + 2

ist natürlich auch eine ganzrationale Funktion.

>

Denn

- 2

ist doch eine ganzrationale Zahl, oder nicht?
Nein! Es gibt ganzrationale Funktionen, es gibt ganze Zahlen, es gibt rationale Zahlen, aber ganzrationale Zahlen gibts nicht.

>

Aber

x - 2

ist keine ganzratioanale Funktion
Richtig,

x \mapsto x^{- 2}

ist keine ganzrationale Funktion, weil der Exponent

- 2

keine natürliche Zahl ist. Definition ist eben Definition.

R

anonymous

11:48 Uhr, 05.09.2015

Ich habe eine Datei erstellt und den Unterschied aufgeschrieben.
Im Grunde genommen habe ich mich sehr stark an deinen Antworten gehalten.
Die Datei habe ich im Anhang geschickt.

Ist alles soweit richtig, ist etwas falsch oder hast du noch ein
paar Tipps, wie ich es schöner aufschreiben bzw. formulieren könnte?

Roman-22

14:26 Uhr, 05.09.2015

Etwas Falsches ist mir jetzt nicht aufgefallen, wiewohl es mich bei der Formulierung "...dass es eine eingeschränkte Definitionsmenge gibt, nämlich dort, wo der Nenner 0 wird." etwas "gerissen" hat. Es ist ja nicht so, dass es die

D

dort gibt, wo der Nenner Null ist. Vielmehr würde ich eher formulieren, dass bei Bestimmung der

D

eine gebrochenrationalen Funktion die Nullstellen des Nenners auszuschließen sind.

Und wenn wir schon pingelig sind, dann hat mit generell auch der logische Aufbau deiner Zeilen etwas gestört. Ich denke, dass es sinnvoller ist, zuallererst die drei Begriffe zu definieren, danach allgemein eventuelle Gemeinsamkeiten und Unterschiede herauszuarbeiten und erst zum Schluss sich mit Details (wei Namensgebung oder

D)

zu befassen und anhand konkreter Beispiele

(x^{- 1})

das bereits Geschriebene verdeutlichen.
Kommt aber natürlich immer darauf an, wofür die Zeilen gedacht sind.

R

anonymous

19:54 Uhr, 05.09.2015

Roman-22, ich bin immer sehr dankbar für eventuelle Tipps und Korrekturen!
Sehr oft hilft einem der ,,Blick von außen".
Ich finde überhaupt nicht, dass du pingelig bist. ;-)
Die Veränderungen habe ich übernommen; danke!

Aber ich habe noch eine Frage:
In einem Matheheft habe ich Folgendes gefunden:

,,Potenzfunktionen sind Funktionen mit Gleichungen der Form

f (x) = x^{n} \forall x \in ℝ \land n \in ℤ

"

Wir hatten uns darauf geeinigt, dass eine Potenzfunktion auch

x^{\frac{2}{3}}

sein könnte bzw. der Nenner allgemein eine reelle Zahl.
Ist das, was im Matheheft steht, falsch oder auch richtig, bloß eine andere Definiton?
Und ist das

\land

richtig oder schreibt man das Zeichen nicht an solche Stellen?

Liebe Grüße
NeymarJunior

Roman-22

00:56 Uhr, 06.09.2015

Leider ist es auch in der Mathematik nicht ungewöhnlich, dass man für ein und denselben Begriff in der Literatur unterschiedliche Definitionen findet.
Die von dir gefundene Definition kommt durchaus häufig vor, vor allem, aber nicht nur, im Schulbereich. Hier wird diese Definition auch deshalb gerne verwendet, um die Potenzfunktionen bereits früh einführen zu können (bevor noch negative und rationale Exponenten bei Potenzen Verwendung finden) und auch zur Abgrenzung zu den Wurzelfunktionen.
Im Wesentlich kann man auf vier unterschiedliche Definitionen zum Begriff "Potenzfunktion" treffen: mit ganzzahligen Hochzahlen, oder mit beliebigen reellen Hochzahlen und manchmal mit einem reellen Vorfaktor (Formfaktor; manchmal wird da von "allgemeiner" Potenzfunktion gesprochen) und manchmal, so wie in deiner Definition, ganz puristisch ohne Formfaktor.
Eine Definition ist eine Vereinbarung zwischen Menschen. Wenn ein Fachbuchautor in seinem Buch einen Begriff definiert, so ist das eine Vereinbarung zwischen ihm und seinen Lesern und es verpflichtet ihn natürlich, sich durchgehend an diese Definition zu halten. Ein anderer Autor kann den gleichen Begriff in seinem Text durchaus anders definieren. Es gibt keine Mathe-Polizei und kein Mathe-Gericht, das hier einschreiten würde. Für viele Begriffe gibt es aber so etwas wie eine stillschweigende Übereinkunft darüber, wie sie zu definieren sind und Autoren werden sich tunlichst auch daran halten. Umso ärgerlicher ist es dann natürlich, wenn so einfache Dinge wie "Potenzfunktion" oder die Menge der natürlichen Zahlen

ℕ

(manchmal nach DIN mit Null, manchmal aber immer noch auch ohne) unterschiedlich definiert werden.
Für dich: Es gilt, was dein Lehrer sagt :-)

Die Konjuktion (das UND-zeichen

\land)

in deiner Definition ist schon OK, schließlich gelten beide Bedingungen zugleich.
Achtung bei der Definition

f (x) := a \cdot x^{r}

mit

a, r \in ℝ

. Diese Funktion kann, muss aber nicht

\forall x \in ℝ

definiert sein. Etwa

f (x) = x^{- 2},

da sollte man besser nicht

x = 0

einsetzen. Und Potenzfunktionen mit nichtganzzahligem Exponenten sind aus gutem Grund für

x \in ℝ^{-}

nicht definiert (solange wir nicht ins Komplexe ausweichen).

R

anonymous

07:11 Uhr, 07.09.2015

Roman-22, noch zweimal kurz nachgehakt: ;-)

1 .)

f (x) = x^{n} \forall x \in ℝ \land n \in ℤ

Also wenn

n = 0,

dann sollte

x \neq 0

D . h .,

dass ich auch in meinem Fall das

\forall

weglassen soll, oder?
Oder kann ich es da stehen lassen und muss beachten, dass es da eventuelle ,,Probleme"
geben könnte, nämlich dann, wenn auch

x = 0,

denn

0^{0}

ist nicht definiert, soweit ich weiß.

2 .)

,,Und Potenzfunktionen mit nichtganzzahligem Exponenten sind aus gutem Grund für

x \in ℝ^{-}

nicht definiert (solange wir nicht ins Komplexe ausweichen)."

Könntest du das bitte kurz erläutern?

Roman-22

11:11 Uhr, 07.09.2015

Ja, sogar für alle

n \leq 0

und

n \in ℤ

ist Null nicht Element der Definitionsmenge für

x

>

Könntest du das bitte kurz erläutern?
Was wäre denn zB

{(- 1)}^{1} . 25

R

anonymous

15:54 Uhr, 07.09.2015

1 .)

Also du würdest das

\forall

Zeichen einfach weglassen, oder und einfach nur

x \in . .

. und

n \in . .

. schreiben?

2 .) {(- 1)}^{\frac{5}{4}}

ist nicht definiert, alles klar. Aber guck mal:

{(- 1)}^{0,6} = {(- 1)}^{\frac{3}{5}}

ist definiert. Aber ich verstehe jetzt, was du meinst. ;-)

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