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Potenzreihendarstellung einer Funktion

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Sonstiges

Funktionenreihen

Tags: Funktion, Funktionenreihen, potenzreihen, Sonstig

anonymous

08:25 Uhr, 23.11.2018

Hallo liebe Community!

Zuerst einmal ein großes Dankeschön dass es euch gibt und ihr euch Zeit nehmt, um Fragen zu beantworten!

Nun zu meinen Fragen:

1. Aufgabe:
Berechnen Sie die Potenzreihendarstellung der Funktionen

\frac{1}{x}

- 1

und

ln x

um 2

indem Sie die geometrische Reihe und die Potenzreihendarstellung des Logarithmus ver-
wenden.

2. Aufgabe:
Finden Sie weiters durch Anwendung der Rechenregeln für den Logarithmus die Po-
tenzreihendarstellung der Funktion

ln \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}}

um 0

Zu

1 . :

Ich habe schon eine Lösung, da ich ja weiß, wie die geometrische Reihe ausschaut:

\frac{1}{1 - x} = \sum x^{n}

Daher habe ich

\frac{1}{x}

auf die Form

\frac{1}{1 - x}

gebracht

: - \frac{1}{1 - (1 + x)}

. So wäre dann die Potenzreihe

\sum - {(1 + x)}^{n},

oder? Nun zu meiner ersten Frage: Ist die Berechnung richtig? Und wenn ja, was hat der Entwicklungspunkt dann eigentlich damit zu tun? Ich verstehe nicht so ganz wie ich den einbauen soll. Außerdem gilt die Potenzreihendarstellung ja nur für

| x | < 1

oder? Die Reihe divergiert ja, wenn ich größere Werte einsetzte.

zu

ln x :

Die Potenzreihendarstellung ist ja

ln (1 + x) = \sum {(- 1)}^{k + 1} \cdot \frac{x^{k}}{k}

D . h

. um auf

ln (2 + x)

zu kommen, muss ich in der Potenzreihendarstellung einfach

+ 1

rechnen? Also wäre das Ergebnis dann:

\sum {(- 1)}^{k + 1} \cdot \frac{{(1 + x)}^{k}}{k}

?

Zur 2. Aufgabe habe ich noch keinen Lösungsansatz, wäre cool wenn mir da wer helfen könnte :-)

LG und danke im Vorraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

HAL9000

10:39 Uhr, 23.11.2018

Die Potenzreihenentwicklung von

\frac{1}{x}

ist soweit richtig, du solltest allerdings sagen, bei welchem Index die Reihe startet, d.h.

\frac{1}{x} = - \sum_{n = 0}^{\infty} (x + 1)^{n}

. Diese Reihe konvergiert für

∣ x + 1 ∣ < 1

, da hast du also leicht daneben gelegen, weil du die Verschiebung vergessen hattest.

Bei der Logarithmusaufgabe willst du eine Potenzreihenentwicklung von

\ln (x)

im Punkt

x = 2

, das entspricht einer Potenzreihenentwicklung von

\ln (2 + t)

im Punkt

t = 0

, und das geht so:

\ln (2 + t) = \ln (2 (1 + \frac{t}{2})) = \ln (2) + \ln (1 + \frac{t}{2}) = \ln (2) + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n} \cdot {(\frac{t}{2})}^{n} = \ln (2) + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n 2^{n}} t^{n}

bzw. wieder mit dem ursprünglichen

x

geschrieben

\ln (x) = \ln (2) + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n 2^{n}} (x - 2)^{n}

für

- 2 < x - 2 \leq 2

.

Bei 2) führen bereits die Logarithmenregeln zum Ziel:

\ln \sqrt{\frac{1 - x}{1 + x}} = \frac{1}{2} \ln (\frac{1 - x}{1 + x}) = \frac{1}{2} (\ln (1 - x) - \ln (1 + x))

,

und dann einfach die bekannte Reihenentwicklung

\ln (1 + t) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(- 1)^{n - 1}}{n} t^{n}

für

t = x

sowie

t = - x

einsetzen.

anonymous

11:12 Uhr, 23.11.2018

Danke erstmal für deine Antwort!

Ich blick aber leider noch nicht ganz durch

: (

ln (2 + t) = ln (2 (1 + \frac{t}{2}) = ln (2) + ln (1 + \frac{t}{2})

macht für mich Sinn.
Aber danach gehört doch

ln (2) + \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} \cdot \frac{{(\frac{t}{2})}^{n}}{n}

statt

{(- 1)}^{n - 1} . .

. oder?

Edit: Achja, und meine letzte Frage:
für

t

hast du ja dann wieder

(x - 2)

eingesetzt, und zwar deshalb weil wir ja den Entwicklungspunkt 2 hatten und wir die Reihe sozusagen im Punkt 0 errechnet haben, oder?

ledum aktiv_icon

12:37 Uhr, 23.11.2018

Hallo
für

n \geq 1

ist

{(- 1)}^{n + 1} = {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{n - 1} = {(- 1)}^{n - 1}

Gruß ledum

anonymous

12:45 Uhr, 23.11.2018

Danke!

HAL9000

13:25 Uhr, 23.11.2018

Zu deiner letzten Frage: Ja, Potenzreihenentwicklung einer Funktion

f (x)

im Punkt

x_{0}

bedeutet letztlich

\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} (x - x_{0})^{n}

für

x

mit

∣ x - x_{0} ∣ < R

, falls

R

der Konvergenzradius dieser Potenzreihe ist.

Das ist ja auch der Grund, warum dein

\ln (2 + t) = \ln (1 + (1 + t)) = \sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k + 1} \cdot \frac{(1 + t)^{k}}{k}

bzw. mit

t = x - 2

rücksubstituiert

\ln (x) = \sum_{k = 1}^{\infty} (- 1)^{k + 1} \cdot \frac{(x - 1)^{k}}{k}

zwar eine richtige Potenzreihenentwicklung ist, aber nicht wie gefordert im Punkt 2, sondern im Punkt 1.

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