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Prüfe auf gleichmäßige Stetigkeit

Universität / Fachhochschule

Funktionenfolgen

Tags: Funktionenfolgen, gleichmäßig stetigkeit

LuciaSera aktiv_icon

12:25 Uhr, 05.10.2018

Wie prüfe ich bei folgender Funktionenfolge auf gleichmäßige Stetigkeit?

f_{n} (x) = x^{n} (x^{2 n} - 1), f_{n} : [- 1,1] \to ℝ

Mit der punktweisen hatte ich keine Probleme. Dafür habe ich

- 1 < x < 1

und die Grenzen

x = 1

und

x = (- 1)

betrachtet.

Doch bei der gleichmäßigen habe ich gerade ein paar Schwierigkeiten. Ich habe auch versucht anzunehmen, dass sie nicht gleichmäßig konvergent ist, komme dann jedoch darauf, dass sie es doch ist. Also ich drehe mich irgendwie im Kreis...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

michaL aktiv_icon

12:43 Uhr, 05.10.2018

Hallo,

die Definitionsmenge ist kompakt, d.h. die Funktionen der Folge nehmen Sup und Inf an. Den

x

-Wert

x_{s u p; n}

zum zugehörigen Supremum kann man leicht mittels der 1. Ableitung berechnen. Damit kann man auch das zugehörige Supremum

f_{n} (x_{s u p; n})

berechnen.
Die (punktweise) Grenzfunktion ist offenbar die Nullfunktion, wonach du nur untersuchen musst, ob

lim_{n \to \infty} f_{n} (x_{s u p; n}) = 0

gilt.

Das sollte doch wohl machbar sein. (Ich habe nach ein paar Proben übrigens den Eindruck, dass das nicht der Fall sein wird!)

Mfg Michael

ermanus aktiv_icon

13:18 Uhr, 05.10.2018

Hallo,
nur noch mal zur Sicherheit:
ist dies in Wirklichkeit eine Frage nach gleichmäßiger Konvergenz der Funktionenfolge?
Denn gleichmäßig stetig sind alle einzelnen

f_{n}

und auch der
punktweise Limes

f = 0

.
Gruß ermanus

michaL aktiv_icon

13:23 Uhr, 05.10.2018

Hallo,

ups, ich habe die Aufgabe tatsächlich als gleichmäßige Konvergenz "gelesen".
Sollte das nicht gemeint, so vergiss meinen Einwand.

Mfg Michael

LuciaSera aktiv_icon

13:36 Uhr, 05.10.2018

Ach nein! Fehler meinerseits - es ist natürlich die gleichmäßige Konvergenz gefragt.

Ich habe nun das Supremum-Kriterium wie vorgeschlagen angewandt und bekomme für

x = \pm {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2 n}}

. Weiter komme ich dann auf ein Maximum

({(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2 n}}, - \frac{2}{3 \sqrt{3}})

für das Intervall

[0,1],

wenn ich mir nun aber das Intervall

[- 1,0)

betrachte, komme ich auf kein Maximum, da ich unter der Wurzel negativ bin.

Was heißt das nun aber für meine Funktionenfolge? Mir fehlt es hier glaube ich sehr an Verständnis. Ich weiß nicht, wie ich das interpretieren soll...

ermanus aktiv_icon

13:44 Uhr, 05.10.2018

Ich hab's mir ja auch so gedacht und Michael hat damit
natürlich vollkommen Recht :-)
Das Problem mit dem angeblich negativen Radikanden verstehe ich nicht.
Für gerade

n

ist die Funktion offenbar symmetrisch zur

y

-Achse,
für ungerade

n

ist sie punktsymmetrisch zum Ursprung,
d.h.

∣ f (x) ∣

ist symmetrisch zur

y

-Achse,
d.h. die lokalen Maxima sind nach links und nach rechts die gleichen.

LuciaSera aktiv_icon

13:50 Uhr, 05.10.2018

Für gerade

n

verstehe ich die Argumentation mit der Symmetrie aber für ungerade

n

leider nicht. wenn ich

f_{n} ({(- \frac{1}{3})}^{\frac{1}{2 n}})

berechne, komme ich auf negative Radikanden.

ermanus aktiv_icon

13:55 Uhr, 05.10.2018

Der Ausdruck

(- \frac{1}{3})^{\frac{1}{2 n}}

taucht in meiner Rechnung nicht auf,
wohl aber

- (\frac{1}{3})^{\frac{1}{2 n}}

.
Überprüf das doch mal ...

LuciaSera aktiv_icon

15:45 Uhr, 05.10.2018

Ah ja tut mir leid ich habe das Minus versehentlich und fälschlicherweise in die Klammer gezogen..

Aber ich habe wohl mit

- {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2 n}}

gerechnet.

ermanus aktiv_icon

16:00 Uhr, 05.10.2018

Dann kannst du ja ohne weiteres

sup_{x \in [- 1, 1]} ∣ f_{n} (x) ∣

angeben.

LuciaSera aktiv_icon

16:33 Uhr, 05.10.2018

Ach ich Vollidiot! Ja natürlich.. Ich betrachte beim Supremum immer den Betrag meiner Funktionenfolge, also bin ich symmetrisch.

Das heißt dann:

supr_(x

\in [- 1,1]) | f_{n} (x) - f (x) | = max_{x \in [- 1,1]} | f_{n} (x) - f (x) | = max_{x \in [- 1,1]} | x^{n} (x^{2 n} - 1) | = - \frac{2}{3 \cdot \sqrt{3}}, \forall n \in ℕ

Aber mein Supremum müsste für die gleichmäßige Konvergenz gegen 0 gehen oder? Also folgt daraus nun, dass meine Funktionenfolge nicht gleichmäßige konvergent ist?

ermanus aktiv_icon

16:37 Uhr, 05.10.2018

Ja, das ist vollkommen richtig :-)

P.S.: bis auf das Minuszeichen zum Schluss ;-)

LuciaSera aktiv_icon

17:21 Uhr, 05.10.2018

Irgendwann muss es ja bei mir Klick machen :-D) - Ja das Minuszeichen wurde bereits korrigiert :-)

Bevor der Beitrag geschlossen wird hätte ich aber noch eine Frage:

An diese Aufgabe angeheftet ist nämlich folgende:

f_{n} : [0, a] \to ℝ, f_{n} (x) = x^{n} (x^{2 n} - 1), a < 1

Mein Intervall habe ich also angeschrieben als:

[0,1)

. Dass ich punktweise konvergent bin weiß ich, denn das kann ich aus dem Beispiel von vorhin übernehmen.

Meine Frage bezieht sich eben wieder auf die gleichmäßige Konvergenz. Eine Nullfolge finde ich nicht, also fällt mein Majoranten-Kriterium weg. Wenn ich mich nun wieder an das Supremum-Kriterium wende, dann hätte ich doch den gleichen Verlauf wie vorhin und wäre damit nicht gleichmäßig stetig oder nicht?

ermanus aktiv_icon

17:35 Uhr, 05.10.2018

Das kannst du leider nicht so machen:
wenn

a < 1

ist, dann liegt die rechte Grenze des abgeschlossenen (!)
Intervalls

[0, a]

ein kleines Stück, nämlich

1 - a

links von der

1

entfernt.
Wenn du dir die

x

-Werte deiner Maxima anschaust, dann siehst du, dass
diese für wachsendes

n

von links gegen

1

streben, also
ab einem gewissen

n_{0}

rechts von

a

, also außerhalb des Intervalls
zu liegen kommen: der "Huppel" wandert mit wachsendem

n

immer weiter nach rechts
in Richtung

1

. Irgendwann wandert er an der Stelle

x = a

vorbei ...
Darüber musst du nun nachdenken ;-)
Man kann sich den Graphen von

f_{n}

hier anzeigen lassen:
gehe dazu auf die Startseite, dann rechts:
"Funktion zeichnen / Kurvendiskussion online".
Gruß ermanus

LuciaSera aktiv_icon

09:02 Uhr, 06.10.2018

Ich muss sagen ich verstehe gerade nur Bahnhof. Wieso muss ich

1 - a

betrachten anstatt dass ich mein Intervall von

[0,1)

aufschreibe? Ich dachte dadurch, dass mein

a < 1

ist kann ich das so machen.

Das mit dem Zeichnen klappt irgendwie nicht.

ermanus aktiv_icon

09:07 Uhr, 06.10.2018

Wenn z.B. dein

a = \frac{1}{2}

ist, sollst du nach Aufgabenstellung (!)
als Definitionsbereich das abgeschlossene (!) Intervall

[0, \frac{1}{2}]

nehmen.
Nachdem man sich ein

a > 0

fest gewählt hat, darf man es doch während
der Untersuchung nicht mehr ändern.

Was klappt denn mit dem Zeichnen nicht?

LuciaSera aktiv_icon

09:10 Uhr, 06.10.2018

Das ist mir klar, ja. Aber das würde doch bei diesem Intervall

[0,1)

genauso der Fall sein oder nicht?

Während der Untersuchung nicht nein, aber sollte es nicht dann für jedes a gelten?

Ich habe es mit Geogebra probiert zu zeichen aber er gibt mir leider nichts aus.

ermanus aktiv_icon

09:17 Uhr, 06.10.2018

Nein, das ist ja das "Interessante" an dieser Aufgabe.
Wenn der Definitionsbereich der Funktionenfolge nicht durch ein

a < 1

nach rechts abgeschlossen ist, dann gibt es kein

n

, ab dem der

x

-Wert des Maximums (

= : x_{n}

) außerhalb des Intervalls liegt, er liegt ja immer
innerhalb

[0, 1)

, ist aber

0 < a < 1

, so ist ab einem

n

x_{n} > a

.
Das ist doch ein "großer" Unterschied.

ermanus aktiv_icon

09:27 Uhr, 06.10.2018

Anbei Graphen für

n = 1, n = 2

und

n = 3

.
Hier siehst du sehr schön, wie das Maximum für wachsendes

n

nach
rechts wandert.

Natürlich soll die Aussage für jedes

0 < a < 1

einzeln gelten, aber doch nicht für
alle solchen

a

gleichzeitig.

LuciaSera aktiv_icon

13:06 Uhr, 06.10.2018

Okay also ich habe nun getüfftelt und getüfftelt.

Ich bin auf folgendes gekommen und würde gerne wissen, ob meine Überlegungen korrekt sind:

1. Meine Funktion ist punktweise konvergent, weil:

lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = 0

für

x = 0

lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = 0

für

x \in (0, a)

lim_{n \to \infty} f_{n} (x) = - \frac{2}{3 \sqrt{3}}

für

x = a = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2 n}}

2. Meine Aufgabe ist es eigentlich eben nicht (wie du sagtest) herauszufinden wie sich meine Funktionenfolge auf dem Intervall

[0,1)

verhält, sondern vermutlich herauszufinden, bis zu welchem a meine Funktionenfolge gleichmäßige konvergiert. Denn aus dem Beispiel vorher, kann ich doch schlussfolgern, dass meine Funktionenfolge eben ab

x = {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2 n}}

nicht mehr gleichmäßig konvergiert. Aber für alle

x < {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2 n}}

wahrscheinlich schon.

Sind diese 2 Punkte von mir korrekt überlegt?

ermanus aktiv_icon

13:10 Uhr, 06.10.2018

Ich brauche ein wenig Zeit, um dir darauf zu antworten.
Leider muss ich demnächst offline gehen und kann mich erst
am späten Nachmittag wieder melden :(

Gruß ermanus

LuciaSera aktiv_icon

19:54 Uhr, 06.10.2018

Macht nicht :-) Ich beschäftige mich morgen noch einmal mit der ganzen Sache. Würde eben nur gerne wissen ob ich halt auf dem richtigen Weg bin oder nicht :-)

ermanus aktiv_icon

11:15 Uhr, 07.10.2018

Hallo,
gestern habe ich es leider nicht mehr geschafft :(

Zu 1.: Wir wissen schon, dass

f_{n} \to 0

punktweise
auf ganz

[0, 1]

, also erst recht auf

[0, a]

.
Dein 3-ter Limes ist übrigens unsinnig ...

Zu 2.: Ich ahne, dass du wohl das Richtige meinst ...
Ich mache dir hier Vorschläge, wie du
"mathematisch" vorgehen könntest:

Sei also nun

0 < a < 1

(beliebig, aber fest).

Begründe zuerst, dass es ein

n_{0} \in ℕ

gibt mit

(\frac{1}{3})^{\frac{1}{2 n}} > a \forall n \geq n_{0}

.
("Der Huppel ist nach rechts über das

a

hinausgelaufen").

Dann bedenke, dass

∣ f_{n} (x) ∣ = x^{n} (1 - x^{2 n})

auf

[0, 1]

,
also erst recht auf

[0, a]

gilt.

Bestimme nun

sup_{x \in [0, a]} ∣ f_{n} (x) ∣ = sup_{x \in [0, a]} x^{n} (1 - x^{2 n})

für

n \geq n_{0}

,
indem du die strenge Monotonie von

x^{n} (1 - x^{2 n})

auf

[0, a]

für

n \geq n_{0}

nachweist und daraus den Schluss ziehst, dass dann

sup_{x \in [0, a]} ∣ f_{n} (x) ∣ = ∣ f_{n} (a) ∣

ist für

n \geq n_{0}

...

LuciaSera aktiv_icon

11:59 Uhr, 07.10.2018

Also ich hoffe ich habe deine Vorschläge nun richtig umgesetzt:

Ich habe versucht die Begründung so zu zeigen:

{(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2 n}} > a > 1

\frac{1}{2 n} ln (\frac{1}{3}) > ln (1)

\frac{1}{2 n} < \frac{ln (1)}{ln (\frac{1}{3})}

2 n > \frac{ln (\frac{1}{3})}{ln (1)}

n > \frac{ln (\frac{1}{3})}{2 ln (1)}

\Rightarrow n_{0} = n_{0} (ε, x) = [\frac{ln (\frac{1}{3})}{2 ln (1)}] + 1

\Rightarrow \exists n_{0} \in ℕ : {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2 n}} > 1

Stimmt das so?

Und zur strengen Monotonie:

| f_{n} (x) | = | x^{n} (x^{2 n} - 1) | = | x^{n} (1 - x^{2 n}) | = x^{n} (1 - x^{2 n}),

weil

x \in [0, a]

Dann wähle ich

h > 0

und berechne:

\Rightarrow f_{n} (x + h) - f_{n} (x) = {(x + h)}^{n} (1 - {(x + h)}^{2 n}) = {(x + h)}^{n} - {(x + h)}^{3 n} < 0,

weil mein

x \in [0, a]

und

h > 0

\Rightarrow f_{n} (x)

streng monoton fallend
Reicht dafür als Begründung, dass mein hinterer Term schneller wächst als mein vorderer?

Und kann ich daraus nun schließen, dass mein Supremum, sprich meine kleinste obere Schranke

\to 0

geht? Sprich supremum_(x

\in [0, a]) | f_{n} (x) | = | f_{n} (a) | \to 0

?

Oder ist dieser Schluss zu voreilig?

LuciaSera aktiv_icon

12:20 Uhr, 07.10.2018

Okay vergiss meine erste Begründung...

Aber wenn ich

x^{n} (x^{2 n} - 1) < ε

nach

n

umformen soll, geht das doch nicht oder? Da komme ich mit dem Logarithmus auch nicht weiter...

ermanus aktiv_icon

12:23 Uhr, 07.10.2018

Erst einmal zu der

n_{0}

-Geschichte.
Da machst du dir viel zu viel Arbeit:
du darfst voraussetzen, dass für eine beliebige reelle Zahl

c > 0

gilt

\sqrt[n]{c} \to 1

für

n \to \infty

,
also auch

\sqrt[2 n]{c} \to 1

(Teilfolge). Ist dabei

c < 1

,
nähert sich die Folge von links dem Wert 1. Das kannst du alles als bekannt
voraussetzen und musst es nicht weiter begründen.
Ist also

ε = 1 - a

, so gibt es ein

n_{0}

mit

\forall n \geq n_{0} : ∣ 1 - (\frac{1}{3})^{\frac{1}{2 n}} ∣ < 1 - a \overset{}{\Leftrightarrow} \forall n \geq n_{0} : a < (\frac{1}{3})^{\frac{1}{2 n}}

.

Deine Monotonieberechnung ist falsch: du hast das

f_{n} (x)

nicht abgezogen ...
Übrigens: eine Funktion g ist streng monoton steigend/fallend, wenn

g ʹ (x) > 0

< 0

für alle

x

ist. So geht es bestimmt einfacher.
Achte etwas mehr darauf, ob du jeweils

f_{n}

oder

∣ f_{n} ∣

meinst.
eine monoton steigende Funktion nimmt am rechten Rand des abgeschlossenen
Intervalls ihr Supremum = Maximum an.

Die Folge der Suprema geht dann in der Tat gegen 0, und damit
ist die Folge der

f_{n}

auf

[0, a]

gleichmäßig konvergent gegen
die Nullfunktion.

LuciaSera aktiv_icon

12:37 Uhr, 07.10.2018

Okay also ich verstehe die Argumentation immer mehr muss ich zugeben.

Wo ich mir eben unsicher bin ist, wann ich

| f_{n} (x) |

betrachte und wann nur

f_{n} (x)

. Und was ich gerade auch nicht ganz nachvollziehen kann ist, wie du auf

| 1 - {(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2 n}} |

kommst.

Ich kenne die Form

| f_{n} (x) - f (x) | < ε

. Wenn ich dafür nun

ε = 1 - a

einsetze, ist mir auch alles klar, doch mein

f_{n} (x) = x^{3 n} - x^{n}

und nicht

{(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2 n}}

.

Aaaah oder betrachte ich

{(\frac{1}{3})}^{\frac{1}{2 n}}

als eine Art Teilfolge?

ermanus aktiv_icon

12:45 Uhr, 07.10.2018

Oh, da bringst du manches gehörig durch einander.
Die Geschichte mit dem

ε

und dem

n_{0}

hat gar nichts mit unserem

f_{n}

zu tun. Es geht hier einzig darum zu benutzen, dass die
Folge der

x_{n} := (\frac{1}{3})^{\frac{1}{2 n}}

gegen 1 konvergiert,
dass also

x_{n} \to 1

gilt, es also zu jedem

ε > 0

ein

n_{0}

gibt, so dass

∣ 1 - x_{n} ∣ < ε

ist für alle

n \geq n_{0}

.
So ist doch ganz normale Konvergenz einer Folge definiert.

ermanus aktiv_icon

12:49 Uhr, 07.10.2018

Das benötigen wir doch, um einzusehen, dass ab einem

n_{0}

a < (\frac{1}{3})^{\frac{1}{2 n}}

ist, dass also ab diesem

n_{0}

jede Funktion

∣ f_{n} ∣

im Intervall

[0, a]

streng monoton wächst.

LuciaSera aktiv_icon

13:00 Uhr, 07.10.2018

aaah okay, das heißt um das zu zeigen, benötige ich im Endeffekt nur die normale Konvergenz und nicht die gleichmäßige.

Heißt das so viel wie, wenn ich bereits weiß, dass meine Folge ab einem gewissen Punkt streng monoton wächst, reicht es dafür die "normale" Konvergenz zu prüfen?

Und bis zu diesem Punkt muss ich dann wirklich die gleichmäßige Konvergenz zeigen. Ist das so gemeint?

ermanus aktiv_icon

13:26 Uhr, 07.10.2018

Nein. Ich glaube, du bist verwirrt ;-)
Ich will versuchen, nochmal Ordnung in dieses Chaos zu bringen:

Im ersten Teil der Aufgabe mit dem Intervall

[- 1, 1]

haben wir gesehen,
dass

sup ∣ f_{n} (x) ∣ = \frac{2}{3 \sqrt{3}}

war für alle

n

. Das war natürlich
allein schon im rechten Teil des Graphen, also im Intervall

[0, 1]

genauso.
Das Hindernis, was dafür sorgte, dass diese Suprema nicht kleiner werden konnten,
war für jedes

n

, dass

∣ f_{n} ∣

in dem Punkt

x_{n} := (\frac{1}{3})^{\frac{1}{2 n}}

ein Maximum mit dem

y

-Wert

\frac{2}{3 \sqrt{3}}

annahm.
Wenn

a

jetzt so beschaffen ist, dass diese Hindernisse

x_{n}

ab einem

n_{0}

rechts von

a

liegen, dann können die ab diesem

n_{0}

ja nicht mehr stören, dann werden die

∣ f_{n} ∣

ab dem

n_{0}

ihren "Gipfel" rechts von

a

, also außerhalb von

[0, a]

haben
und der Graph jedes einzelnen

∣ f_{n} ∣

sollte dann monoton steigen innerhalb von

[0, a]

: Rechts von

a

liegt der Gipfel, also muss zwischen

0

und

a

der
"Anstieg" liegen, d.h. muss monotones Wachsen vorliegen.

Bitte verstehe das erst einmal unzweifelhaft !

LuciaSera aktiv_icon

13:40 Uhr, 07.10.2018

Okay. Ich habe mir das jetzt auch aufgezeichnet und Schritt für Schritt überlegt was mit meinem Graphen passiert.

Mein Gipfel der Funktion wandert immer weiter Richtung

a,

desto größer mein

n

wird oder? Damit ich nun aber gleichmäßig konvergent sein kann, muss ich diesen y-Wert ausschließen können. Dafür muss ich rausfinden, ob das überhaupt möglich ist. Dazu überprüfe ich dann, ob es denn ein

n_{0}

gibt, sodass dieses

x_{n} > a

ist. Denn dann stört mich dieser Gipfel in meinem Intervall nicht mehr und mein Supremum ändert sich.

Ist das soweit korrekt?

Wenn ich nun ein

n_{0}

gefunden habe, sodass das zutrifft, muss ich aber noch zeigen, dass die gleichmäßige Konvergenz innerhalb von

[0, a]

wirklich existiert. Und wenn ich mir die Grafik dann ansehe, ist es eine Funktion die streng monoton wächst, weil sie ja im Prinzip zu dem Gipfel will, aber das Intervall vorher aufhört.

Habe ich das nun richtig verstanden?

ermanus aktiv_icon

13:46 Uhr, 07.10.2018

Ja, damit bin ich vollkommen einverstanden :-)
Das bedeutet also, dass ich zunächst zeigen muss, dass zu einem
beliebig, aber fest vorgegebenen

a

mit

0 < a < 1

ein solches

n_{0}

existiert, so dass

x_{n} > a

ist für alle

n \geq n_{0}

, d.h.
dass diese

x_{n}

näher an der 1 liegen als

a

, dass also

∣ 1 - x_{n} ∣ < 1 - a

.
Soweit erst einmal OK?

LuciaSera aktiv_icon

13:50 Uhr, 07.10.2018

Ja! :-D) Soweit habe ich nun alles verstanden und kann ich auch nachvollziehen :-D)

ermanus aktiv_icon

13:59 Uhr, 07.10.2018

Da nun

x_{n} \to 1

gilt, wie ich ja dargelegt habe,
muss es zu jedem

ε > 0

ein

n_{0}

geben, so dass

∣ 1 - x_{n} ∣ < ε

ist für alle

n \geq n_{0}

.
Wähle nun speziell

ε = 1 - a

.
Damit ist die Existenz unseres

n_{0}

gesichert.

Wenn ich nun von

n

spreche, sei immer

n \geq n_{0}

gemeint.

Jetzt müssen wir als nächstes zeigen, dass die

∣ f_{n} ∣

auf

[0, a]

monton wachsen. Ich hatte ursprünglich
von "streng monoton wachsen" gesprochen. "Monoton wachsen" reicht.
Entweder du argumentierst jetzt sprachlich, aber mathematisch streng,
dass dies zutrifft, oder du zeigst, dass

∣ f_{n} ∣ ʹ (x) \geq 0

ist für alle

x \in [0, a]

LuciaSera aktiv_icon

15:15 Uhr, 07.10.2018

Okay. Das heißt, dass ab einem gewissen

n_{0} : a < x_{n}

ist, wissen wir nun und haben dies über die Definition der Konvergenz gezeigt.

Dann prüfe ich ob die meine restlichen Funktionenfolgen

| f_{n} (x) |

monoton wachsen. Dafür habe ich folgendes gemacht:

zz:

| f_{n} |' (x) \geq 0

\Leftrightarrow n \cdot x^{n - 1} - 3 n \cdot x^{3 n - 1} \geq 0

\Leftrightarrow 1 - 3 x^{2 n} \geq 0

und dadurch, dass mein

x

immer

< 1

ist, ist diese Ungleichung erfüllt, würde ich sagen. Oder muss ich das noch besser vereinfachen?

Wenn ich das nun gezeigt habe, kann ich dann weiter damit begründen, dass mein Supremum die kleinste obere Schrank ist und damit supremum_(x

\in [0, a]) | f_{n} (x) | = 0

ist?

Das geht mir gerade nicht so ganz ein, denn wenn mein

x

beispielsweise sehr nahe bei 0 ist, wandere ich dann nicht in Richtung

1 (1 \geq 0),

anstatt in Richtung 0? Ist dann die kleinste obere Schranke nicht 1?

ermanus aktiv_icon

15:32 Uhr, 07.10.2018

Du meinst das Richtige:
wieder immer

n \geq n_{0}

vorausgesetzt:

x \in [0, a] \Rightarrow x < (\frac{1}{3})^{\frac{1}{2 n}} \Rightarrow 3 x^{2 n} < 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 \Rightarrow 1 - 3 x^{2 n} > 0

\Rightarrow ∣ f_{n} ∣ ʹ (x) = n x^{n - 1} (1 - 3 x^{2 n}) \geq 0

.

Deine Äquivalenzpfeile waren fragwürdig ;-)

Also nehmen die

∣ f_{n} ∣

ihren größten Wert am rechten Intervallrand

a

an:

sup_{x \in [0, a]} ∣ f_{n} (x) ∣ = ∣ f_{n} (a) ∣ = a^{n} (1 - a^{2 n}) \leq a^{n} \to 0

für

n \to \infty

, da

0 < a < 1

LuciaSera aktiv_icon

16:37 Uhr, 07.10.2018

Ich danke dir vielmals für deine unendliche Geduld mit mir!!!

Endlich ist dieses Beispiel für mich klar und nachvollziehbar :-)

Der letzte Knackpunkt war eben nur dass mein

n \geq n_{0}

ist. Das habe ich eben vergessen und wenn man das berücksichtigt, ändert sich das Supremum dann natürlich.

Vielen Dank!!

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