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Punkt im inneren einer dreiseitigen Pyramide

Schüler Gymnasium,

Tags: dreisetige Pyramide, eben, Inneres, Koordinatenform, Punkt, Sprupunkte, volum

Alexxa

11:22 Uhr, 15.02.2015

Hallo ihr Lieben,

ich brauche dringend Hilfe bei der Beantwortung von Aufgabenteil

c)

.

Aufgabe:
Gegeben ist eine Ebene durch

E : x_{1} + 2 x_{2} + 2 x_{3} = 12

a)

Bestimmen sie die Koordinaten der Spurpunkte

S_{1}, S_{2}

und

S_{3}

von E. Zeichnen Sie das Dreieck

S_{1} S_{2} S_{3}

in ein Koordinatensystem.

b)

Die Punkte

0, S_{1}, S_{2}

und

S_{3}

sind die Eckpunkte einer Pyramide. Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.

c)

Im Inneren der Pyramide liegt ein Punkt

M,

der von alles Seitenflächen und von der Grundfläche den gleichen Abstand hat. Bestimmen Sie die Koordinaten von

M

.

bei Aufgabenteil

a)

war ich mir nicht ganz sicher, was mit Spurpunkte gemeint ist, weil eine Ebene ja eigentlich nur eine Spurgerade mit den Koordiantenebenen haben kann. Also habe ich als Spurpunkt den Schnittpunkt mit der jeweiligen Koordinatenachse genommen. Also lauten meine Punkte

S_{1} (12 | 0 | 0), S_{2} (0 | 6 | 0)

und

S_{3} (0 | 0 | 6)

.
Die Skizze muss ich glaube ich nicht auch noch posten. :-)

bei Aufgabenteil

b)

habe ich mir zuerst das Volumen für eine Dreiseitige Pyramide herausgesucht und habe für Vektoren die Formel

V = \frac{1}{6} \cdot | (\vec{a} \times \vec{b}) ⋆ \vec{c} |

genommen. Für meine Pyramide hieße die Formel dann

V_{P} = \frac{1}{6} \cdot | (\vec{S_{1} S_{2}} \times \vec{S_{1} S_{3}}) ⋆ \vec{S_{1} O} |

.
Mit dieser Formel bin ich dann auf das Ergebnis

V = 72

gekommen.

Aber nun zu Aufgabenteil

c)

. Wenn ich schon eine Aufgabe mit dem Mittelpunkt in einer dreiseitigen Pyramide gefunden hätte, hätte ich gar nicht erst gefragt, aber es gibt nur welche mit vierseitigen (oder sogar quadratischen) Pyramiden im Internet.
Also. Hier mein Ansatz:
Ich muss als erstes den Punkt finden, der in der Mitte einer der vier Ebenen liegt. Zum Beispiel in der Mitte von

S_{1} S_{2} S_{3}

. Und auf der Gerade zwischen diesem Punkt und der gegenüberliegenden Spitze (also hier dem Punkt

O)

muss doch der Mittelpunkt

M

liegen, oder ist selbst hier schon ein Denkfehler?

Bitte helft mir weiter! Ich bin am verzweifeln!

:' (

Alexxa

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Ebenen in Parameterform
Grundbegriffe der ebenen Geometrie

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Respon

11:55 Uhr, 15.02.2015

Alle Punkte, die von den Koordinatenebenen gleichen Abstand haben, haben gleiche Koordinaten ( liegen auf der Mediane des ersten Oktanten ).

M (x_{M} | x_{M} | x_{M})

Der Abstand von der Ebene ist ebenfalls

x_{M}

"Hesse"

\frac{x_{M} + 2 \cdot x_{M} + 2 \cdot x_{M} - 12}{3} = - x_{M} \Rightarrow x_{M} = .

rundblick aktiv_icon

11:59 Uhr, 15.02.2015

"
Also habe ich als Spurpunkt den Schnittpunkt mit der jeweiligen Koordinatenachse genommen.
"

\to

genau diese Punkte nennt man Spurpunkte der Ebene

Also: die Punkte

S 1 (12 | 0 | 0), S 2 (0 | 6 | 0)

und

S 3 (0 | 0 | 6)

sind richtig gewählt

zu

b) \to

da kannst du es einfacher haben :
das Volumen von Pyramiden berechnet man mit dieser Formel:

V = \frac{G \cdot h}{3}

wobei in deinem Fall die Grundfläche

G

zB die Fläche des rechtwinkligen
Dreiecks

O S 1 S 2

ist, also

\frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 .

. und die Höhe

h = \bar{O S 3} = 6

\to V =

Alexxa

12:09 Uhr, 15.02.2015

Als erstens: danke Rundblick für die Versicherung, dass das, was ich gemacht habe richtig ist.

\land'

Auf die andere Lösung für

b)

war ich gar nicht gekommen :-D) man bekommt aber das gleiche raus

\land

Respon, bei dir verstehe ich das mit der Hesse'schen Normalenform noch nicht so ganz, ich habe das jetzt genau so aufgeschrieben, aber trotzdem hätte man doch immer noch eine Gleichung mit 3 unbekannten. Oder soll ich diese jetzt einfach raten?

Respon

12:10 Uhr, 15.02.2015

Die einzig unbekannte Größe ist

x_{M}

Alexxa

12:12 Uhr, 15.02.2015

Aber woher kann man sich sicher sein, dass alle drei Koordinaten den selben Wer haben?

Respon

12:14 Uhr, 15.02.2015

Weil ( siehe Angabe ) drei Pyramidenseiten jeweils in den Koordinatenebenen liegen.

Alexxa

12:17 Uhr, 15.02.2015

Ja, aber müsste sich der Mittelpunkt nicht weiter in x_1-Richtung bewegen? Weil

S_{1}

ja den Abstand

12

zum Ursprung hat während

S_{2}

und

S_{3}

nur den Abstand 6 haben?

rundblick aktiv_icon

12:17 Uhr, 15.02.2015

"
Die einzig unbekannte Größe ist xM.
"

na ja

\to

ich will mich da nicht weiter einmischen
ABER

\to

vielleicht solltest du da doch nochmal nachdenken,
denn der Punkt

(6; 6; 6)

liegt nun vermutlich wohl nicht Im INNEREN der Pyramide ?!

hm, komisch .. oben stand doch vorher mal xM

= 6

oder?
.

Respon

12:19 Uhr, 15.02.2015

Der gesuchte Punkt

M

hat mit

S_{1}, S_{2}

und

S_{3}

nichts zu tun. Er "schwebt" im Inneren der Pyramide und hat zu allen Seitenflächen den gleichen Abstand.

Respon

12:21 Uhr, 15.02.2015

Berechne

x_{M}

und überprüfe dann die entsprechenden Abstände.

Respon

12:23 Uhr, 15.02.2015

Beachte auch bei der Berechnung, dass der gesuchte Punkt und der Koordinatenursprung auf der gleichen Seite der Ebene liegen.

Alexxa

12:31 Uhr, 15.02.2015

Ich habe für

x_{M}

jetzt

\frac{3}{2}

heraus bekommen, also müsste der Mittelpunkt

M

die Koordinaten

m (\frac{3}{2} | \frac{3}{2} | \frac{3}{2})

haben. Könntest du mir nur noch kurz erklären, warum du die Hesse'sche Normalenform mit

- x_{M}

gleich gesetzt hast? Bei mir im Buch steht da nämlich

= 0 . .

Respon

12:38 Uhr, 15.02.2015

Unsere Ebenengleichung lautet:

ε : x + 2 \cdot y + 2 \cdot z = 12

Die Hessesche Normalform ist dann

\frac{x + 2 \cdot y + 2 \cdot z - 12}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = 0

( die 0 ist hier korrekt )
Möchte ich mit der HNF den Abstand eines Punktes von der Ebene berechnen ( im Beispiel der Punkt

M (x_{M} | x_{M} | x_{M}),

so muss ich die Koordinaten des Punktes in die HNF einsetzen und erhalte den Abstand.
Also

\frac{x_{M} + 2 \cdot x_{M} + 2 \cdot x_{M} - 12}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = d

Aber

d

ist nach unseren Überlegungen

x_{M}

.
Achtung: Da

M

und der Koordinatenursprung auf der gleichen Seite der Ebene liegen, gilt der Abstand als NEGATIV.
Daher

\frac{x_{M} + 2 \cdot x_{M} + 2 \cdot x_{M} - 12}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}}} = - x_{M}

Alexxa

12:54 Uhr, 15.02.2015

Okay... ich scheine da echt eine große Wissenslücke zu haben... Ich habe auch schon probiert die Abstände von

M

zu den einzelnen Ebenen herauszufinden und habe da alleine schon bei den ersten beiden Ebenen unterschiedliche werte heraus bekommen. Bei deiner Erklärung verstehe ich alleine schon nicht, wieso der Abstand zum Koordinaten Ursprung

(\frac{d}{| \vec{n} |})

gleich

x_{M}

ist. ich will dich jetzt aber auch nicht weiter mit meinem Nicht-Verständnis belästigen. Tut mir leid, falls ich dir zu viele Umstände gemacht habe...

Respon

12:55 Uhr, 15.02.2015

Nicht der Abstand zum Koordinatenursprung ist

x_{M},

sondern der Abstand zu den jeweiligen KOORDINATENEBENEN ist

x_{M}

Respon

12:59 Uhr, 15.02.2015

Den Punkt

M

haben wir ja jetzt schon.

M (\frac{3}{2} | \frac{3}{2} | \frac{3}{2})

Der Abstand dieses Punktes zur xy-Ebene ( dort liegt ja eine Pyramidenseite ) ist die z-Koordinate, also

\frac{3}{2}

Der Abstand dieses Punktes zur xz-Ebene ( dort liegt ja eine Pyramidenseite ) ist die y-Koordinate, also

\frac{3}{2}

Der Abstand dieses Punktes zur yz-Ebene ( dort liegt ja eine Pyramidenseite ) ist die x-Koordinate, also

\frac{3}{2}

Und der Abstand des Punktes von der gegebenen Ebene ist ebenfalls

\frac{3}{2} (

so haben wir es ja berechnet )

Alexxa

13:00 Uhr, 15.02.2015

Oh! Ja das ergibt natürlich Sinn!! trotzdem kriege ich da leider immer andere abstände heraus

: (

trotzdem vielen Dank! :-D) wenn ich heute noch zeit finde probier ich herauszufinden, wo ich mich verrechnet habe.

Danke nochmals, wenigstens weiß ich jetzt wie ich da ran zu gehen habe

\land'

Respon

13:03 Uhr, 15.02.2015

Du brauchst bei diesen Abständen nichts berechnen. Der Abstand eines Punktes von einer Koordinatenebene ist lt. Definition die jeweilige Koordinate.
Deine oben erwähnte Formel ist hier nicht relevant.

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