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Punktsymmetrie

Schüler

Tags: Punktsymmetrisch

Pudel1 aktiv_icon

17:37 Uhr, 03.03.2021

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? 5. Klasse Gymnasium
Ich habe die Aufgabe fotografiert und hier hochgeladen.
LG
Emma

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)

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17:49 Uhr, 03.03.2021

Foto fehlt!
Es werden nur 500KB übertragen.

Pudel1 aktiv_icon

18:04 Uhr, 03.03.2021

Eine Burg hat 4 Türme

A B C

und

d

untersuche ob es einen Standpunkt

P

gibt von dem aus der Turm a durch den Turm

C

verdeckt wird und man den Turm

C

genau in der Mitte zwischen den Türmen

B

und

D

siehtEine Burg hat 4 Türme

A B C

und

d

untersuche ob es einen Standpunkt

P

gibt von dem aus der Turm a durch den Turm

C

verdeckt wird und man den Turm

C

genau in der Mitte zwischen den Türmen

B

und

D

sieht

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18:35 Uhr, 03.03.2021

Hallo,

um erst einmal alle Punkte zu ermitteln die in der Mitte von B und D liegen (gleicher Abstand) benötigt man einen Zirkel. Wie das gemacht wird, das habe ich angehängt.
Verwendet ihr überhaupt schon Zirkel?

Gruß
pivot

Roman-22

18:53 Uhr, 03.03.2021

>

um erst einmal alle Punkte zu ermitteln die in der Mitte von

B

und

D

liegen
Achtung! Es geht nicht darum, dass

B

und

D

gleich weit von

P

oder

C

entfernt liegen sollen. Es geht zB um die WInkelgleichheit

∠ B P C = ∠ C P D

Streng genommen verlangt die Aufgabe auch nicht, den Punkt

P

zu konstruieren oder zu berechnen.

pivot aktiv_icon

18:57 Uhr, 03.03.2021

Oh ja.

Pudel1 aktiv_icon

19:44 Uhr, 03.03.2021

Hallo und lieben Dank,

leider haben wir noch nicht mit dem Zirkel gearbeitet. Ich habe aber einen und habe ihn gerade mal hgergeholt und wüsste nur gerne, in welchem Abstanbd ich ihn wie anlegen muss ??
Und wo ungefähr liegt nur

P

?
Schon mal Dankeschön und viele Grüße
Emma

Roman-22

21:13 Uhr, 03.03.2021

>

leider haben wir noch nicht mit dem Zirkel gearbeitet. Ich habe aber einen und habe ihn gerade mal hgergeholt und wüsste nur gerne, in welchem Abstanbd ich ihn wie anlegen muss ??

pivot hatte da einen kleinen Denkfehler, was die Streckensymmetrale (Mittensenkrechte) von BD anlangt.

Du verschlagwortest mit "punktsymmetrisch" und in der Tat führt ein einfacher Konstruktionsweg über die Spiegelung eines Punktes an einer Geraden. Dafür benötigt man idR aber doch einen Zirkel.

Bist du sicher, dass du den Punkt

P

wirklich konstruieren sollst?
Oder sollst du nur grundsätzlich überlegen, ob es einen solchen Punkt geben kann und wo der ungefähr liegen müsste?

Wenn der Turm

A

in Blickrichtung genau hinter Turm

C

liegen soll, wo müsste dann der Betrachter

P

auf jeden Fall zu finden sein?

In welchem Kontext ist denn diese Aufgabe eingebettet, also was habt ihr gerade im Unterricht durchgemacht und worum genau ging es denn bei den andern Aufgaben dieses Übungsblattes?

P . S . :

Streng genommen ist die Aufgabe ja unpräzise gestellt, denn sie hat unendlich viele Lösungen. Eindeutig wird sie, wenn man zusätzlich noch annimmt, dass der Hauptpunkt der Zentralprojektion im Turm

C

liegt. Anders gesagt, dass das Bild des Turmes

C

senkrecht und horizontal zentriert ist.
Andererseits wird ja nur verlangt, zu überlegen, ob es so einen Punkt mit der gewünschten Eigenschaft überhaupt gibt und diese Frage ist dann wiederum doch eindeutig beantwortbar, auch wenn's mehr als einen gibt ;-)

anonymous

02:54 Uhr, 05.03.2021

Hallo,

mein Beitrag bezieht sich auf
punktförmige Türme im

R^{2}

bzw.
auf die geometrische Darstellung
in dem Kästchenfeld.
Die Diskussion,
wie realitätsnah das ist,
überlasse ich Anderen...

Sei

C = (0, 0),

so folgt

A = (- 3, 8), B = (- 4,1), D = (2,8)

Der Betrachter befinde sich
auf der Gerade durch

C

und A im Punkt

S = C - r \cdot A = r \cdot (3, - 8)

mit

r \in R_{> 0}

.

Schaut er von dort auf Turm

C,

so
erscheint ihm Turm

B

links unter dem Winkel

α (r) = a r c cos (\frac{< C - S, B - S >}{| C - S | \cdot | B - S |})

= a r c cos (\frac{< (0,0) - r \cdot (3, - 8), (- 4,1) - r \cdot (3, - 8) >}{| (0,0) - r \cdot (3, - 8) | \cdot | (- 4,1) - r \cdot (3, - 8) |})

= a r c cos (\frac{< (- r \cdot 3, r \cdot 8), (- 4 - r \cdot 3,1 + r \cdot 8) >}{| (- r \cdot 3, r \cdot 8) | \cdot | (- 4 - r \cdot 3,1 + r \cdot 8) |})

und analog dazu Turm

D

rechts unter dem Winkel

β (r) = a r c cos (\frac{< C - S, D - S >}{| C - S | \cdot | D - S |})

= a r c cos (\frac{< (0,0) - r \cdot (3, - 8), (2,8) - r \cdot (3, - 8) >}{| (0,0) - r \cdot (3, - 8) | \cdot | (2,8) - r \cdot (3, - 8) |})

= a r c cos (\frac{< (- r \cdot 3, r \cdot 8), (2 - r \cdot 3,8 + r \cdot 8) >}{| (- r \cdot 3, r \cdot 8) | \cdot | (2 - r \cdot 3,8 + r \cdot 8) |})

.

Speziell für den pitoresken Flecken mit

r = 3

gibt das

z . B

α (3) = a r c cos (\frac{< (- 9,24), (- 13,25) >}{| (- 9,24) | \cdot | (- 13,25) |})

\approx a r c cos (\frac{717}{722,259}) \approx

6,918°

β (3) = a r c cos (\frac{< (- 9,24), (- 7,32) >}{| (- 9,24) | \cdot | (- 7,32) |})

\approx a r c cos (\frac{831}{839,62}) \approx

8,217°.

Turm

D

erscheint also immer
ein wenig weiter rechts am Rand
als Turm

B

links am Rand.
Mit zunehmender Entfernung
des Betrachters (größeren

r)

nimmt dieser Effekt aber
immer mehr ab
(verschwindet jedoch nie).

Roman-22

10:55 Uhr, 05.03.2021

Die Sinnhaftigkeit deines Beitrags solltest du vielleicht nochmals überdenken, angesichts des Wissensstandes der Fragestellerin und auch in Anbetracht der Tatsache, dass sie sich nicht mehr "blicken" hat lassen um ein paar einfache Rückfragen zu beantworten.

>

Turm

D

erscheint also immer ein wenig weiter rechts am Rand
Immer? Wirklich? Im Ernst?
Versuch dein Glück vielleicht nicht mit einem zufällig gewählten Wert

r = 3,

sondern mit

r = \frac{882}{803}

.

Aber wie oben schon angedeutet gibt es auch für dein

r = 3

eine Blickrichtung, für die dann Turm

C

genau in der Mitte zwischen

B

und

D

erscheint. Auch wenn die Aufgabenstellung diese Überlegung sicher nicht von der Fragestellerin verlangt, so ist doch nirgendwo gefordert, dass die Kamera beim Bildchen machen genau auf Turm

C

ausgerichtet sein muss.

anonymous

14:06 Uhr, 05.03.2021

Oh yo, Danke für diese Korrektur.
Die "Schere" öffnet sich für immer
kleinere

r > 0

immer weiter, wobei
das Winkelverhältnis dann bei

r = \frac{882}{803}

"kippt".
Punkt

P

existiert also, auch schon bei
sturem Blick (mit dem einzigen Auge) auf Turm C.
Anbei dazu eine Wertetabelle für eine
arithmetische Folge von

r' s

und ganz
unten noch mit

r = \frac{882}{803},

dort als
ca.

r = 1,098

angegeben.
Mein PC wertet dabei

r

als "exakt"
im Sinne gleicher Winkel...

anonymous

19:07 Uhr, 05.03.2021

Nun möchte ich aber auch noch diesen
schönen rationalen r-Wert berechnen...

α (r) = β (r)

\Rightarrow a r c cos (\frac{< (\begin{matrix} - r \cdot 3 \\ r \cdot 8 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 4 - r \cdot 3 \\ 1 + r \cdot 8 \end{matrix}) >}{| (\begin{matrix} - r \cdot 3 \\ r \cdot 8 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} - 4 - r \cdot 3 \\ 1 + r \cdot 8 \end{matrix}) |}) = a r c cos (\frac{< (\begin{matrix} - r \cdot 3 \\ r \cdot 8 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 - r \cdot 3 \\ 8 + r \cdot 8 \end{matrix}) >}{| (\begin{matrix} - r \cdot 3 \\ r \cdot 8 \end{matrix}) | \cdot | (\begin{matrix} 2 - r \cdot 3 \\ 8 + r \cdot 8 \end{matrix}) |})

\Rightarrow \frac{< (\begin{matrix} - r \cdot 3 \\ r \cdot 8 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 4 - r \cdot 3 \\ 1 + r \cdot 8 \end{matrix}) >}{| (\begin{matrix} - 4 - r \cdot 3 \\ 1 + r \cdot 8 \end{matrix}) |} = \frac{< (\begin{matrix} - r \cdot 3 \\ r \cdot 8 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 - r \cdot 3 \\ 8 + r \cdot 8 \end{matrix}) >}{| (\begin{matrix} 2 - r \cdot 3 \\ 8 + r \cdot 8 \end{matrix}) |}

\Rightarrow \frac{20 \cdot r + 73 \cdot r^{2}}{{(17 + 73 \cdot r^{2} + 40 \cdot r)}^{\frac{1}{2}}} = \frac{58 \cdot r + 73 \cdot r^{2}}{{(68 + 73 \cdot r^{2} + 116 \cdot r)}^{\frac{1}{2}}}

\Rightarrow \frac{20 + 73 \cdot r}{58 + 73 \cdot r} = {(\frac{17 + 73 \cdot r^{2} + 40 \cdot r}{68 + 73 \cdot r^{2} + 116 \cdot r})}^{\frac{1}{2}}

\Rightarrow \frac{400 + 2920 \cdot r + 5329 \cdot r^{2}}{3364 + 8468 \cdot r + 5329 \cdot r^{2}} = \frac{17 + 73 \cdot r^{2} + 40 \cdot r}{68 + 73 \cdot r^{2} + 116 \cdot r}

\Rightarrow (400 + 2920 \cdot r + 5329 \cdot r^{2}) \cdot (68 + 73 \cdot r^{2} + 116 \cdot r)

= (17 + 73 \cdot r^{2} + 40 \cdot r) \cdot (3364 + 8468 \cdot r + 5329 \cdot r^{2})

\Rightarrow 27200 + 29200 \cdot r^{2} + 46400 \cdot r

+ 198560 \cdot r + 213160 \cdot r^{3} + 338720 \cdot r^{2}

+ 362372 \cdot r^{2} + 389017 \cdot r^{4} + 618164 \cdot r^{3}

= 57188 + 143956 \cdot r + 90593 \cdot r^{2}

+ 245572 \cdot r^{2} + 618164 \cdot r^{3} + 389017 \cdot r^{4}

+ 134560 \cdot r + 338720 \cdot r^{2} + 213160 \cdot r^{3}

\Rightarrow 29200 \cdot r^{2} + 46400 \cdot r + 198560 \cdot r + 362372 \cdot r^{2}

= 29988 + 143956 \cdot r + 90593 \cdot r^{2} + 245572 \cdot r^{2} + 134560 \cdot r

\Rightarrow 55407 \cdot r^{2} - 33556 \cdot r - 29988 = 0

\Rightarrow r^{2} - \frac{33556}{55407} \cdot r - \frac{9996}{18469} = 0

\Rightarrow r_{1,2} = \frac{16778}{55407} \pm {({(\frac{16778}{55407})}^{2} + \frac{9996}{18469})}^{\frac{1}{2}}

\Rightarrow r_{1} = \frac{882}{803}, r_{2} = - \frac{34}{69},

wobei die zweite Lösung natürlich das Thema verfehlt...

Roman-22

19:31 Uhr, 05.03.2021

>

Nun möchte ich aber auch noch diesen schönen rationalen r-Wert berechnen...
Das sei dir unbenommen, diesen Wert nun auf besonders aufwändige und komplizierte Art zu ermitteln, aber warum müllst du damit diesen Thread zu? Das ist, auch wenn die Fragestellerin schon lang kein Interesse mehr zeigt, mMn unangebracht.

anonymous

19:37 Uhr, 05.03.2021

Wie hast du denn

r = \frac{882}{803}

berechnet ?

Roman-22

20:55 Uhr, 05.03.2021

>

Wie hast du denn

r = 882803

berechnet ?
Na, einfach die zwei Schritte der geometrischen Konstruktion analytisch nachrechnen:

1) B

[A C]

spiegeln

\to E

2)

Gerade

[A C]

mit Gerade

[D E]

schneiden

\to P

Und wenn's wirklich dein

r

sein muss, dann eben noch

r = \frac{\bar{C P}}{\bar{A C}}

anonymous

00:48 Uhr, 06.03.2021

Danke.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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