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Quotientenregel Beweis

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

Alex1995 aktiv_icon

23:51 Uhr, 20.10.2016

Ich habe folgende Aufgabe:

Formuliere die Quotientenregel für die Ableitung reellwertiger (skalarer) Funktionen
und beweise diese mittels Kettenregel.

Wie soll die Qutientenregel für solche Funktionen aussehen und wie soll der Beweis funktionieren??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

00:22 Uhr, 21.10.2016

Ich vermute, du hast die Definition der Ableitung gegeben,
und darfst sie nutzen:

f' (x) = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

Für die Quotientenregel wird es sich offensichtlich um einen Quotienten handeln,
also benamsen wir ihn vielleicht

f (x) = \frac{u (x)}{v (x)}

>

einsetzen,

>

geschickt erweitern

>

und in wenigen Schritten hast du die bekannte Formelsammlungs-Formel parat...
Viel Erfolg!

Alex1995 aktiv_icon

10:17 Uhr, 21.10.2016

aber gilt diese Herleitung auch für reellwertige Funktionen

f (x_{1}, ... ., x_{n})

Alex1995 aktiv_icon

22:49 Uhr, 21.10.2016

Wenn ich habe

f' (x) = \frac{v (x) u' (x) - u (x) v' (x)}{v^{2} (x)},

gilt die Quotientenregel auch für reellwertige Funktionen und wie gelingt der Beweis mittels Kettenregel??

anonymous

22:55 Uhr, 21.10.2016

Die genannte Definition der Ableitung ist grundsätzlich für reelle Funktionen geeignet.

Darfst du vielleicht zusätzlich die Produktregel als gegeben nutzen?
Dann gilt die Empfehlung:
Betrachte den Quotient als Multiplikation aus

f (x) = \frac{u}{v} = u \cdot \frac{1}{v}

Alex1995 aktiv_icon

23:09 Uhr, 21.10.2016

Gilt nicht

f = \frac{u}{v}

als skalare differenzierbare Funktionen für die Quotientenregel:

f' = \frac{u' v - v' u}{v^{2}}

= (v

grad(u)

- u

grad(v))

/ v^{2}

ist das so?

anonymous

23:46 Uhr, 21.10.2016

Ja, den Teil
"Formuliere die Quotientenregel für die Ableitung"
hast du schon geschafft.
:-)

Alex1995 aktiv_icon

00:12 Uhr, 22.10.2016

den anderen Teil verstehe ich nicht. Kannst du beim Beweis helfen?

anonymous

00:14 Uhr, 22.10.2016

ja - willst du nochmals lesen, was ich schon geschrieben habe?

Alex1995 aktiv_icon

00:21 Uhr, 22.10.2016

Ich weis leider nicht, wie ich das verstehen soll deinen Hinweis. Kannst du bitte bisschen mehr weiterhelfen?

tobit aktiv_icon

01:07 Uhr, 22.10.2016

Hallo zusammen!

Hier erst einmal mein Vorschlag zur Formulierung einer Quotientenregel für total differenzierbare Abbildungen

U \to ℝ

mit

U \subseteq ℝ^{n}

:

Sei

U \subseteq ℝ^{n}

offen. Seien

u, v : U \to ℝ

und es gelte

v (x) \neq 0

für alle

x \in U

. Sei

x \in U

, so dass u und v jeweils in x total differenzierbar sind. Dann ist auch

f := \frac{u}{v} : U \to ℝ

in x total differenzierbar mit Differential

D f (x) = \frac{1}{v (x)^{2}} \cdot (v (x) \cdot D u (x) - u (x) \cdot D v (x))

.

Zum Beweis wende die Kettenregel auf

f = q \circ h

mit

h : U \to ℝ^{2}, h (x) = (u (x), v (x))

und

q : ℝ^{2} \ (ℝ \times {0}) \to ℝ, q (a, b) = \frac{a}{b}

an.

Viele Grüße
Tobias

Alex1995 aktiv_icon

09:46 Uhr, 22.10.2016

Danke Tobit für deine Unterstützung.
Ich verstehe nicht wie ich die Kettenregel darauf anwenden soll. Gibt es da irgendeinen Trick?

Es waäre nett, wenn du es mir zeigen könntest?

tobit aktiv_icon

11:17 Uhr, 22.10.2016

(Vorweg eine Korrektur meiner vorigen Antwort: In der Definition von h sollte ich nicht x verwenden, denn x ist in meiner Formulierung einer Quotientenregel ja schon vergeben. Stattdessen sollte ich z.B. schreiben:

h : U \to ℝ^{2}, h (y) = (u (y), v (y))

.)

1. Nun, den entscheidenden Trick habe ich dir bereits genannt: f lässt sich (scheinbar unnötig kompliziert) als Verkettung der Abbildungen h und q schreiben.

Ist dir klar, dass tatsächlich

f = h \circ q

gilt? Wenn nein: Berechne für beliebiges

y \in U

jeweils

f (y)

und

h \circ q (y)

.

2. Wenn du

f = h \circ q

eingesehen hast oder mir für einen Moment glaubst:

Wie lautet denn die (mehrdimensionale) Kettenregel genau?
Grob gesprochen macht sie eine Aussage über die Differenzierbarkeit und das Differential einer Verkettung zweier Abbildungen.

f = h \circ q

IST die Verkettung zweier Abbildungen und wir suchen eine Aussage über Differenzierbarkeit und Differenzial von

f

.

Passt doch gut, oder?
Was liefert die Kettenregel angewandt auf h und q genau über

q \circ h

?

3. Wenn du 2. gelöst hast, ergibt sich automatisch, dass du Folgendes benötigst. Wenn du 2. nicht gelöst hast, kannst du 3. auch als eigenständigen Arbeitsauftrag auffassen:

3. a) Mach dir klar, dass h in x total differenzierbar ist. Wie lautet das Differential

D h (x)

?

3. b) Zeige, dass q in seinem gesamten Definitionsbereich total differenzierbar ist und bestimme für jeden Punkt

(a, b)

aus dem Definitionsbereich von q (also für jede reelle Zahl a und jede reelle Zahl

b \neq 0

) jeweils das Differential

D q (a, b)

.

Ich habe dir jetzt mit 1., 2., 3.a) und 3.b) vier "Arbeitsaufträge" gegeben. Wenn du irgendwo nicht weiterkommst, solltest du unabhängig davon die anderen Teile versuchen können.

Gib bei Rückfragen bitte wenn möglich an, ob sie sich auf 1., 2., 3.a) oder 3.b) beziehen.

Viel Erfolg!

Alex1995 aktiv_icon

12:49 Uhr, 22.10.2016

Also für

2 .)

habe ich die Kettenregel wie folgt angewnedet:

D(h°q)(a,b)=Dh(q(a,b))°Dq

(a, b)

3 .)

a)

Dh(y)=(

u' (y), v' (y))

b)

Das verstehe ich nicht. Das Differential fehlt doch bei reellen Zahlen einfach weg??

Kannst du mir bitte nochmal weiterhelfen. Sorry, dass ich so lang brauche.

tobit aktiv_icon

13:23 Uhr, 22.10.2016

Sorry, ich habe mich in meiner vorigen Antwort durchgehend verschrieben.

Es muss

f = q \circ h

, nicht wie von mir geschrieben

f = h \circ q

heißen.

Deine Anwendung der Kettenregel (2.) ist folgerichtig, muss aber durch meinen Fehler noch mal korrigiert werden.

Tut mir leid. Ich poste schnell diese Korrektur und antworte dann zu 3. a) und b).

Alex1995 aktiv_icon

13:24 Uhr, 22.10.2016

kein Problem Tobit. Ich muss sowieso noch bisschen überlegen.

Alex1995 aktiv_icon

13:41 Uhr, 22.10.2016

Also zu 2.

D (q o h) (y) =

Dq(h(y)o Dh(y)

tobit aktiv_icon

13:45 Uhr, 22.10.2016

Zu 3. a):

Ihr verwendet die Schreibweise

u^{ʹ}

auch "im Mehrdimensionalen"?
Ich kenne eher die Schreibweise

D u (x)

für das Differential von u an der Stelle x.

Deine Idee,

D h (x)

mithilfe von

D u (x)

und

D v (x)

auszudrücken, ist genau die, die ich meinte.

Was ist

D h (x)

für eine Art von Matrix, also wie viele Zeilen und Spalten hat sie jeweils?
Und wieviele Zeilen und Spalten haben Du(x) und Dv(x)?

Wenn du dir das überlegt hast, siehst du, dass dein Ergebnis noch nicht ganz stimmen kann.
Aber es stimmt fast.

(Ich schreibe übrigens x statt y, da wir für

y \neq x

in meiner Formulierung der Quotientenregel gar nicht wissen, ob u und v in y total differenzierbar sind.)

Zu 3. b):

Hier kann ich deinem Einwand nicht ganz folgen: Was meinst du damit, das Differential falle bei reellen Zahlen einfach weg?

Gesucht ist das Differential von

q : ℝ^{2} \ (ℝ \times {0}) \to ℝ, q (a, b) = \frac{a}{b}

.
(Sie ordnet je zwei reellen Zahlen a und b mit

b \neq 0

die reelle Zahl

\frac{a}{b}

zu, z.B.

q (- 5, 3) = \frac{5}{3}

.)

Bestimme zunächst die beiden partiellen Ableitungen von q.

tobit aktiv_icon

13:50 Uhr, 22.10.2016

Zu 2.:

Genau, wenn h an der Stelle y total differenzierbar ist und q an der Stelle h(y) ebenfalls total differenzierbar ist, sagt dir die Kettenregel, dass auch

q \circ h

an der Stelle y total differenzierbar ist und deine Formel gilt.

Damit ist nun klar, warum ich dir die Arbeitsaufträge 3. a) und 3. b) gegeben habe, oder?

Alex1995 aktiv_icon

14:47 Uhr, 22.10.2016

3 a) :

Ist Dh(x) nicht die jacobi matrix der partiellen Ableitungen.
Ich verstehe nicht wie viel Zeilen diese dann haben soll und dann auch wie viele Zeilen bzw. Spalten Du Dv haben sollen??

b)

partielle Ableitung von

q

nach

a : \frac{1}{b}

partielle Ableitung von

w

nach

b : - \frac{a}{b^{2}}

und dann?

tobit aktiv_icon

15:53 Uhr, 22.10.2016

Zu 3. a):

Ja,

D h (x)

ist die Jacobi-Matrix von h an der Stelle x und enthält als Einträge gerade die partiellen Ableitungen von h.

Allgemein:
Ist eine Abbildung

g : ℝ^{n} \to ℝ^{m}

in einem Punkt

x \in ℝ^{n}

total differenzierbar, so hat die Jacobi-Matrix A von g in x genau m Zeilen ("eine für jede Komponente von g") und n Spalten ("eine für jede Koordinate, nach der partiell abgeleitet werden kann").
Eine andere Art, sich diesen Zusammenhang zu merken: A soll eine lineare Abbildung

ℝ^{n} \to ℝ^{m}

darstellen, also handelt es sich um eine

m \times n

-Matrix (beachte die Reihenfolge von m und n!).
Analoges gilt, wenn man

ℝ^{n}

durch eine offene Teilmenge

U \subseteq ℝ^{n}

ersetzt.

Zurück zur Aufgabe:
u und v sind Abbildungen

u, v : U \to ℝ^{1}

mit

U \subseteq ℝ^{n}

. Also sind die Jacobi-Matrizen von u und v an der Stelle x gerade

1 \times n

-Matrizen, haben also 1 Zeile und n Spalten.
h ist eine Abbildung

h : U \to ℝ^{2}

, also ist die Jacobi-Matrix von h an der Stelle x eine

2 \times n

-Matrix, hat also 2 Zeilen und n Spalten.

Die Komponenten von h (häufig mit

h_{1}

und

h_{2}

bezeichnet) sind gerade u und v. Somit besteht die Jacobi-Matrix von h an der Stelle x aus den beiden Zeilen, die durch die Jacobi-Matrizen Du(x) an der Stelle und Dv(x) gegeben sind:

D h (x) = (\begin{array}{rcl} D u (x) \\ D v (x) \end{array})

.

(Beachte dabei, dass Du(x) und Dv(x) jeweils eine Zeile mit n reellen Zahlen darstellen.)

Zu 3. b):

Deine partiellen Ableitungen von q nach a und b stimmen. :-)

Insbesondere sind sie im ganzen Definitionsbereich von q stetig. Somit ist q tatsächlich im gesamten Definitionsbereich total differenzierbar.

Die Jacobi-Matrix von q an einer beliebigen Stelle (a,b) des Definitionsbereiches ist somit die

1 \times 2

-Matrix:

D q (a, b) = (\frac{1}{b} - \frac{a}{b^{2}})

.

So, nun haben wir alles zusammen zum großen Finale: ;-)

Die Matrix Dh(x) ist bestimmt, die Matrizen

D q (a, b)

sind für alle reellen Zahlen a und

b \neq 0

bestimmt und gemäß deiner Überlegung zu 2. weißt du, wie du daraus

D (q \circ h) (x)

durch Multiplikation geeigneter Matrizen bestimmen kannst.

(Vielleicht doch noch vorweg: Wie lautet

D q (h (x))

, also die Jacobi-Matrix von Dq an der speziellen Stelle

h (x) = (u (x), v (x))

Alex1995 aktiv_icon

18:58 Uhr, 22.10.2016

Vielen Dank Tobit für deine ausführliche Erklärung:

So Dq(h(x))=

\frac{1}{v (x)} - \frac{u (x)}{v^{2} (x)}

oder?

Alex1995 aktiv_icon

19:23 Uhr, 22.10.2016

Dann ist doch

D (q o h) (x) = (\frac{1}{v (x)} - \frac{u (x)}{v^{2} (x)}) o \frac{D u (x)}{D v (x)}

mit

(x)

weggelassen;

= \frac{D u}{v} - \frac{D v \cdot u}{v^{2}} = \frac{D u \cdot v}{v^{2}} - \frac{D v \cdot u}{v^{2}} = \frac{D u \cdot v - D v \cdot u}{v^{2}}

tobit aktiv_icon

20:31 Uhr, 22.10.2016

Schön, so ist es! :-)

Beachte, dass

D u (x)

und

D v (x)

keine Zahlen, sondern

1 \times n

-Matrizen sind.
Du multiplizierst demnach Matrizen von rechts mit reellen Zahlen und dividierst Matrizen durch reelle Zahlen.
Ich glaube, das ist nicht üblich, kann man aber natürlich als abkürzende Schreibweisen definieren:
Für

m \times n

-Matrizen A und reelle Zahlen r könnte man

A \cdot r := r \cdot A

und im Falle

r \neq 0

auch

\frac{A}{r} := \frac{1}{r} \cdot A

setzen.
In diesem Sinne sind deine Ausdrücke zu verstehen.

Wenn ich nichts übersehen habe, sind wir soweit durch, falls du keine weiteren Fragen hast, oder?
Oder ist noch 1. zu klären, also dass tatsächlich

f = q \circ h

gilt?

anonymous

20:38 Uhr, 22.10.2016

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

Alex1995 aktiv_icon

20:40 Uhr, 22.10.2016

Es wäre schön, wenn du nochmal 1. erklären könntest.
Ich habe sonst alles verstanden.

tobit aktiv_icon

20:56 Uhr, 22.10.2016

Zum Nachweis von

f = q \circ h

müssen wir zeigen, dass für alle

y \in U

gilt:

f (y) = q \circ h (y)

.

Gegeben

y \in U

rechnen wir also beide Seiten aus:

f (y) = \frac{u}{v} (y) = \frac{u (y)}{v (y)}

q \circ h (y) = q (h (y)) = q (u (y), v (y)) = \frac{u (y)}{v (y)}

Tatsächlich erhalten wir das gleiche Ergebnis, also tatsächlich

f (y) = q \circ h (y)

Alex1995 aktiv_icon

21:09 Uhr, 22.10.2016

Tausend Dank tobit für deine tolle Hilfe. Ich habe alled wirklich gut verstanden und eine Menge gelernt.

Vielen Dank nochmal.

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