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Rationale Funktion unendlich oft differenzierbar

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

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21:38 Uhr, 17.04.2016

Ich stehe vor folgendem Beispiel:

Seien

p (x), q (x) \in R [x], q \neq 0

Polynome. Zeigen Sie, dass die rationale Funktion

R : {x \in

lR:

q (x) \neq 0} = : D \to

lR, welche durch

R (x) = \frac{p (x)}{q (x)}

definiert ist, in jedem punkt

x_{0} \in D

unendlich oft differenzierbar ist.

Ich habe keine Idee wie ich das beweisen soll. Vielleicht mit Induktion? Ich kenne ja dank der Quotientenregel die Ableitung.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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22:08 Uhr, 17.04.2016

Wenn du zeigen kannst (bzw. der Quotientenregel ablesen kannst), dass die Ableitung wieder ein Quotient zweier Polynome ist, sollte einem Induktionsargument nichts im Wege stehen.

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22:17 Uhr, 17.04.2016

Kannst du mir vielleicht eine kleine Startanleitung mit auf den Weg geben? Induktionsanfang ist klar, das ist ja die Quotientenregel. Aber ich weiß nicht wirklich was ich dann im Induktionsschritt machen soll. Außerdem ist mir unklar, wieso ich immer sagen kann, dass das Quadrat eines Polynoms positiv ist.

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22:28 Uhr, 17.04.2016

Du zeigst, dass

x \mapsto \frac{p (x)}{q (x)}

eine Ableitung der Form

x \mapsto \frac{p_{1} (x)}{q_{1} (x)}

hat mit Polynomen

p_{1}, q_{1}

und

q (x) = 0 \Leftrightarrow q_{1} (x) = 0

(das ergibt sich ja unmittelbar aus der Quotientenregel). Weil

p

und

q

in der Argumentation beliebig waren, kannst du die selbe Argumentation auf die Ableitung anwenden und siehst so die Diffbarkeit der 1.Ableitung und dass auch die 2.Ableitung wieder von der selben Form ist. Und das Spiel kann man dann natürlich bis in die Unendlichkeit treiben.
Und für

x \neq 0

ist doch immer

x^{2} > 0,

auch wenn ich nicht wirklich sehe, warum du dich das fragst.

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22:35 Uhr, 17.04.2016

Ah, also mache ich keine formelle Induktion, wo am Ende

n + 1

rauskommt, sondern argumentiere mit der Beliebigkeit der gewählten Funktionen, alles klar.

Es scheint zwar informell Sinn zu machen, dass

q {(x)}^{2}

immer

\neq 0

ist, aber kannst du mir das mit ein paar kurzen Worten begründen. Danach bin ich auch schon fertig (glaub ich).

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22:47 Uhr, 17.04.2016

Es kommt darauf an wie formal du das Ganze beweisen sollst. In den ersten Semestern macht man alles sehr ausführlich, später heißt es nur noch "und induktiv folgt...". Also streng genommen macht man hier eine Induktion gleichzeitig über alle Polynome

p, q (q \neq 0)

.
Ich weiß nicht ganz was du mit deinem zweiten Absatz meinst. Auf

D

ist doch

q (x) \neq 0

und damit auch

{(q (x))}^{2} \neq 0

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22:54 Uhr, 17.04.2016

Egal, vergiss den zweiten Teil.

So wie du es sagst, verstehe ich es, aber wenn der Übungsleiter einen formalen Induktionsbeweis verlangt, weiß ich immer noch nicht, wie ich das rein rechnerisch bewerkstelligen soll...

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23:06 Uhr, 17.04.2016

Die induktiv zu zeigende Aussage solltest du dann irgendwie so verpacken:

\forall n \in ℕ :

Für alle Polynome

p, q (q \neq 0)

ist die Abbildung

x \mapsto \frac{p (x)}{q (x)}

auf

D := {x \in ℝ : q (x) \neq 0}

n-mal differenzierbar und es existieren Polynome

p_{n}, q_{n}

mit

q_{n} (x) = 0 \Leftrightarrow q (x) = 0,

so dass die

n

.Ableitung gerade

x \mapsto \frac{p_{n} (x)}{q_{n} (x)}

ist.
Den Induktionsanfang

(n = 1)

liest man sofort aus der Quotientenregel ab.
Im Induktionsschritt

(n \to n + 1)

verwendest du natürlich die Induktionsvoraussetzung und hast dann schon mal, dass die

n

.Ableitung existiert und von der Form

x \mapsto \frac{p_{n} (x)}{q_{n} (x)}

ist. Jetzt kann man wieder die Aussage für

n = 1

benutzen, um zu zeigen, dass die

n

.Ableitung differenzierbar ist und selbst eine Ableitung der gleichen Form hat. Hier geht jetzt ein, dass man Induktion über alle Polynome

p, q (q \neq 0)

gleichzeitig macht.

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23:18 Uhr, 17.04.2016

Okay, wenn du sagst, dass das formell genug ist, dann passt das. Ich dachte nur, ich müsste dann irgendwie mit der Quotientenregel rumeiern und mit irgendwelchen mühsamen Brüchen rechnen, aber wenn du wie gesagt glaubst, dass das ausreicht, dann glaube ich dir.

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23:28 Uhr, 17.04.2016

Ich garantiere für nichts, Denkfehler sind nie

100 %

auszuschließen und ich habe jetzt auch nicht sonderlich lange oder gründlich darüber nachgedacht, weil ich gerade selbst auf eine Klausur lerne. Daher sehe meine Beiträge eher als Inspiration. :-)

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23:29 Uhr, 17.04.2016

So oder so möchte ich dir danken!

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