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Richtungsableitung von Punkt P zum Ursprung

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Tags: Funktion, Skalarprodukt, Vektorraum

ringko88 aktiv_icon

13:47 Uhr, 30.08.2017

Hallo,
ich habe folgende Aufgaben bezüglich dieser Skalarfunktion zu lösen:

z = x^{4} y -

3x² y³

- 3 x + 2

a)

Welche Neigung hat die xy-Schnittkurve im Punkt

P (2; 1)

in der xy-Ebene?

b)

Welche Neigung hat die Skalarfunktion

z

am Punkt

P (2; 1)

in Richtung zum Ursprung?

ich brauche für die Lösung der Aufgaben die Ableitungen nach

x

und nach

y,

sowohl allgemein, als auch mit dem Punkt

P

eingesetzt:

\frac{z}{d x} = 4 x^{3} y -

6x²y³

- 3

\frac{z}{d y} = x^{4} - 9 x^{2} y^{2}

\frac{z (P)}{d x} = 17

\frac{z (P)}{d y} = - 20

a)

Die allgemeine Formel zur Lösung müsst lauten:
y´

= tan (a) = - \frac{\frac{z (P)}{d x}}{\frac{z (P)}{d y}}

eingesetzt:
y´

= 0,85 \to a =

40,36°

zu

b)

allgemeiner Ansatz über Richtungsableitung

R . A

. = grad(z(P))

\cdot r

grad(z(P))

= (17; - 20)

Richtungsvektor

r :

P 0 = (- 2; - 1)

BETRAG(P0) = SQRT(5) ungleich 1

\to r = \frac{1}{P 0} \cdot P 0

alles eingesetzt ergibt dann:

R . A

. = 17*(-2)/SQRT(5(

+

(-20)*(-1)/SQRT(5)

= - 15,2 + 8,94 = - 6,25

stimmt das soweit?

danke schon im voraus für die Antworten!
Gruß Kolja

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Skalarprodukt

ledum aktiv_icon

16:02 Uhr, 30.08.2017

Hallo
was nennt ihr denn xy- Ebene? und xy Schnittkurve?
Gruß ledum

ringko88 aktiv_icon

16:25 Uhr, 31.08.2017

Hallo!
Mit xy-Ebene meint unser Prof bestimmt die Ebene, die von der

x

und

y

Achse aufgespannt wird.

Die xy Schnittkurve ergibt sich aus

z (x, y) = 0

ledum aktiv_icon

18:04 Uhr, 31.08.2017

Hallo

a)

hast du denke ich falsch gemacht. setze

z = 0

differenziere die rechte Seite implizit, setze den Punkt ein, bestimme

y'

du hast ja nicht die Steigung der Schnittkurve bestimmt,

b)

hab ich die Zahlen nicht nachgerechnet, aber das Vorgehen ist richtig.
Gruß ledum

Roman-22

18:34 Uhr, 31.08.2017

Bei

z_{x} (2; 1)

hast du offenbar beim Ausdruck mit

x^{2}

vergessen, die 2 zu quadrieren

\to z_{x} (2; 1) = 5

Demnach ist die Neigung

- \frac{5}{- 20} = \frac{1}{4} = 0,25

.
Sonst stimmt dein Rechenweg, allerdings steht in der Angabe nicht, welche Neigung gesucht ist. Du hast die gegen die x-Achse angenommen. Da nur die Neigung und nicht der Neigungswinkel gefordert ist, kannst du dir den arctan eigentlich sparen.

Im übrigen ist deine Schreibweise