 |
 |
 |
 |
 |
 |
Startseite » Forum » Riemann vs. Lebesgue Integral
Riemann vs. Lebesgue Integral
Universität / Fachhochschule
Integration
Tags: Integration
 
|
  |
|---|
|
HI, Hab ein paar Verständnis-Fragen: Also mit dem Lebesgue Integral kann man Funktionen integrieren die nicht Riemann-integrierbar sind.z.B Dirichlet-Fkt Kann ich daraus also schließen, dass das L-Integral den Vorteil hat das man bei abzählbar uneindlich vioele Unstetigkeitsstellen integrieren kann? Und ist das der einzige Vorteil? Wie berechne ich ein Lebesgue Integral? gleich wie ein Riemann Integral? lg Jenny Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Flächenberechnung durch Integrieren Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff) |
|
 |
|
Es gibt noch andere Funktionen als nur solche mit abzählbar vielen Unstetigkeitsstellen (tatsächlich ist bereits die Indikatorfunktion von sogar nirgends stetig). Der Witz ist, das L-integrierbare Funktionen eine vernünftigere Struktur haben (wenn man etwas mit ihnen anstellt, kommt wieder eine L-integrierbare heraus), was bei R-Integrierbarkeit nicht der Fall ist. Man kann auch weniger verschämt direkt über sprechen, was bei Riemann immer ein sein muss. |
|
|
|
Für beschränkte Funktionen auf dem einem kompakten Intervall sind die Riemann-integrierbaren Funktionen genau jene, deren Menge ihrer Unstetigkeitsstellen Teilmenge einer sogenannten Lebesgue-Nullmenge ist. Diese sind im Sinn des Lebesgue-Maßes "klein", insbesondere sind alle abzählbaren Mengen vom Maß 0. Ein Beispiel für eine überabzählbare Menge mit Maß 0 ist etwa die (Standard-)Cantor-Menge, wenn du von der vielleicht schon mal gehört hast. Es gibt auch - sogar auf einem kompakten Intervall - Riemann-integrierbare Funktionen, die nicht Lebesgue-integrierbar sind. Allerdings kann man in diesem Fall die Funktionswerte an "wenigen Stellen" (d.h. von Menge von Maß 0 überdeckt) abändern, sodass das L-Integral existiert und den gleichen Wert hat, wie sein Riemann-Kollege. Diesen Mangel kann man auch dadurch ausräumen, dass man das Lebesgue-Maß "vervollständigt" und bezüglich diesem vervollständigtem Maß das Integral nimmt. Oft wird das dann wieder als Lebesgue-Integral bezeichnet. Wenn man es so versteht, dann ist das Lebesgue-Integral tatsächlich stärker und in der Teilmenge der Fälle, wo auch das Riemann-Integral existiert, kannst du wenn du willst mit ihm rechnen, denn es kommt dasselbe raus. Vorsicht ist geboten, wenn man R- und L-Integral auf unbeschränkten Mengen vergleicht. Die Konstruktion des L-Integrals bringt es nämlich mit sich, dass die Funktion in einen Positiv- und einen Negativteil zerlegt wird und getrennt integriert. Dadurch kann es zu Fällen kommen, wo das R-Integral existiert, nicht aber das L-Integral (beachte: wir sind im Fall mit unbeschränkten Mengen). Ich hoffe, das war ein wenig erhellend. |
|
Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
|
980160
980005