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Schnittpunkt der Gerade mit der Ebene

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: eben, Gerade, Schnittpunkt, Vektor

Miyuko aktiv_icon

16:08 Uhr, 13.02.2010

Hallo, alle zusammen.
Ich habe ein paar Schwierigkeiten räumlich zu denken und da dies bei der Vektorrechnung schon sehr wichtig ist, habe ich das Gefühl bei vielen Aufgaben gegen eine Wand zu laufen.

Eine Aufgabe als Beispiel:

(A)

Bestimmen Sie falls möglich, den Schnittpunkt der Geraden

g

mit der

x_{1} x_{2} -

Ebene.

g : \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) + r (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

Ich habe ja jetzt die Möglichkeit entweder mit der Koordinaten-oder Parametergleichung weiterzurechnen.
Wie man auf diese kommt, ist mir aber unverständlich.

Eine zweite Aufgabe:

(B)

Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Koordinatenachsen mit der Ebene E.

E : \vec{x} = (\begin{matrix} 4 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})

Hier weiß ich nicht so recht wie ich das angehen soll.

Ich würde mich sehr auf Vorschläge und Ansätze freuen.

MfG,
Miyu.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebene Geometrie - Einführung
Geraden im Raum
Grundbegriffe der ebenen Geometrie
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Parallelverschiebung
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

magix aktiv_icon

16:33 Uhr, 13.02.2010

Die Ebenengleichung für die

x_{1} x_{2}

-Ebene lautet

x_{3} = 0

Wenn du hier die Gerade einsetzt (was ja nur bei

x_{3}

geht), erhältst du:

1 + r = 0 \Rightarrow r = - 1

Die nun wieder in die Geradengleichung eingesetzt ergibt

(\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) + (- 1) \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

Das ist der Schnittpunkt. Dass er für

x_{3} 0

enthält, ist ganz logisch, weil die

x_{1} x_{2}

-Ebene keine Ausdehnung in Richtung der

x_{3}

-Achse hat.

Miyuko aktiv_icon

16:41 Uhr, 13.02.2010

Danke für die Antwort. :-)
Das heißt, wenn ich zum Beispiel das gleiche in der

x_{2} x_{3}

-Ebene durchrechnen müsste, wäre die Ebenengleichung

x_{1} = 0

?

Wie würde denn die Parametergleichung zu

E : x_{3} = 0

lauten? Und wie komme ich darauf?

magix aktiv_icon

16:43 Uhr, 13.02.2010

Deine Aussage bezüglich der

x_{2} x_{3}

-Ebene ist richtig.

Beim Rest muss ich erst ein bisschen nachdenken. ist schon wieder eine Weile her, dass ich analytische Geometrie gemacht habe.

Miyuko aktiv_icon

16:48 Uhr, 13.02.2010

Ach, ich bin von selbst auf die Parametergleichung gekommen. :-D)
Diese würde lauten:

E : \vec{x} = s (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

Habe auch schon damit durchgerechnet und der Schnittpunkt ist ebenfalls

S (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

.

Danke für deine Hilfe. :-)
Jetzt muss ich nur noch die zweite Aufgabe irgendwie hinkriegen.
Hast du da vielleicht Ansätze?

magix aktiv_icon

16:53 Uhr, 13.02.2010

Ich habe es schon probiert, aber ich steh grad selber auf dem Schlauch. Das was rauskommt bei mir, ist jedenfalls kompletter Unsinn.

magix aktiv_icon

16:56 Uhr, 13.02.2010

Die Koordinatenachsen sind auf jeden Fall als Geraden anzusehen und so hat

z . B

. die

x_{1}

-Achse die Geradengleichung:

\vec{x} = k \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Miyuko aktiv_icon

17:16 Uhr, 13.02.2010

Also ich habe mal an der Aufgabe rumprobiert und habe folgendes getan:
Ich habe die Parametergleichung in die Koordinatengleichung umgeformt.

E : \vec{x} = (\begin{matrix} 4 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) + s (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + t (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})

wurde zu

E : \frac{3}{2} x_{1} - x_{2} - \frac{1}{2} x_{3} = 0

(falls ich mich verrechnet habe beim Umformen, bitte Bescheid sagen)
Dieser Gleichung zufolge wäre der Schnittpunkt aller Koordinatenachsen mit der Ebene der Punkt

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

. Ist dies richtig?

magix aktiv_icon

17:41 Uhr, 13.02.2010

Komisch, ich habe es mit der Parametergleichung gerechnet und bin auf dasselbe gekommen. Nur hab ich meinem Ergebnis nicht getraut.

Miyuko aktiv_icon

20:13 Uhr, 13.02.2010

Naja, ich denke, ich warte einfach ab und frage mal im Unterricht nach, um zu sehen was es nun auf sich hat mit dieser Aufgabe.
Danke für deine Hilfe hierbei. :-)

Schönen Abend noch. ;-)

arrow30

20:50 Uhr, 13.02.2010

hallo,

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 \\ 6 \\ 0 \end{matrix}) - 6 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}) + 2 \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})

also diese Ebene läuft durch

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

da diese Ebene nicht

x y

oder

x z

bzw.

y z

Ebene ist dann kann sie die Koordinatenachsen nur bei

(\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

treffen sonst wäre die ja eine Kurve .

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