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Schnittpunkt zweier Funktionenscharen

Schüler

Tags: 2 Variable, Funktionenschar, Funktionsschar, Gleichsetzen, Schnittpunkt

david1910 aktiv_icon

13:02 Uhr, 18.09.2011

Einen schönen Sonntag Mittag,

meine Aufgabe lautet:

Berechne die Schnittpunkte der folgenden Funktionenscharen:

f 1 (x) = a -

(x²/a)

f 2 (x) =

a³ - ax²

(a < 0; a < > 0

also a ungleich

0)

Lösungsansätze:

Gleichsetzen. Bisher bin ich auf folgenden Term gekommen:

f 1 (x) = f 2 (x)

a -

(x²/a) = a³ - ax²

x =

-a²

+

+ a

Mein Problem ist es, eine Schnittstelle auszurechnen, weil ich eine Gleichung mit 2 Variabeln habe.

Bin dankbar für jede Art von Hilfe!

Gruß David

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Schnittpunkte bestimmen
Funktionenschar (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Nullstellen

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)
Lineare Gleichungssysteme

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DmitriJakov aktiv_icon

13:16 Uhr, 18.09.2011

Die letzte Umformung müsstest Du nochmal überdenken.

a - \frac{x^{2}}{a} = a^{3} - a x^{2} | + \frac{x^{2}}{a} - a

0 = a^{3} + \frac{x^{2}}{a} - a x^{2} - a

0 = x^{2} (\frac{1}{a} - a) + a^{3} - a

0 = x^{2} \cdot \frac{1 - a^{2}}{a} + a^{3} - a

michael777 aktiv_icon

13:23 Uhr, 18.09.2011

gleichsetzen ist schon mal richtig

a - \frac{1}{a} x^{2} = a^{3} - a x^{2}

a \neq 0

ist, kann durch a dividiert werden:

1 - \frac{1}{a^{2}} x^{2} = a^{2} - x^{2}

x^{2} (1 - \frac{1}{a^{2}}) = a^{2} - 1

für

a = \pm 1

sind die beiden Funktionen identisch
für

a \neq \pm 1 :

x^{2} = \frac{a^{2} - 1}{1 - \frac{1}{a^{2}}}

mit

a^{2}

erweitern:

x^{2} = \frac{a^{2} (a^{2} - 1)}{a^{2} - 1}

x = \pm a

y-Werte der Schnittpunkt durch Einsetzen in eine der beiden Funktionsgleichungen:

y = 0

S_{1} (- a | 0)

S_{2} (a | 0)

david1910 aktiv_icon

13:48 Uhr, 18.09.2011

Super!! Ganz ganz lieben Dank! Hab nach etwas längerem Nachdenken deine Rechnung nachvollziehen können. Ich hatte zuerst einen stupiden Fehler gemacht.
Danke nochmal! Ich habe noch eine weitere Aufgabe mit diesen Funktionenscharen. Wäre nett, wenn sich gleich, falls ich Probleme bei der Aufgabe haben sollte, jemand eventuell meldet und mir hilft. Gracias!

david1910 aktiv_icon

16:21 Uhr, 18.09.2011

So, die andere Aufgabe habe ich bereits durchgerechnet und möchte anfrage, ob mein Ergebnis richtig ist.

Die Aufgabe lautet:

Bestimme a so, dass die in die Schnittpunkte gelegten Tangenten aufeinander senkrecht stehen.

Mein Lösungsansatz:

f 1 (x) =

a-x²/a

f 2 (x) =

a³-ax²

Negativer Kehrwert von der Ableitung

f 1' (x) = - \frac{2 x}{a}

gleichsetzen mit der Ableitung

f 2' (x) =

-2ax

also:

\frac{a}{2 x} =

-2ax

Nun setzte ich für

x

einmal a ein und einmal

- a

ein, weil das die Schnittstellen der beiden Funktionen sind.
Beide male wäre dann

a = {(- \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}}

und da man keine Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen kann, wäre die Lösungsmenge leer.
Das macht auch alles Sinn, weil beide Graphen der Funktionen nach unten geöffnet sind, egal welche Zahl der Parameter a annimmt, und somit die Situation, dass die beiden Tangenten sich im 90° Grad Winkel in den Schnittpunkten a und

- a

schneiden, nie vorkommt. Dafür müsste ja einer der beiden Graphen nach oben geöffnet sein, also ein positives

X

in der Funktionsgleichung haben, die ist aber nicht der Fall.
Liege ich damit richtig?

Danke für jede Antwort!

michael777 aktiv_icon

16:36 Uhr, 18.09.2011

richtig

f_{1}

und

f_{2}

schneiden sich für kein a rechtwinklig für

x = a

oder

x = - a

oder ist die Aufgabe vielleicht anders gemeint?
eine Tangente bei

x = - a,

die andere bei

x = a

aber an welche Funktion

f_{1}

oder

f_{2}

david1910 aktiv_icon

16:45 Uhr, 18.09.2011

Ist es nicht so, dass sich die Tangenten einer der beiden Funktionen, egal welcher, in den Schnittpunkten a und

- a

sowieso im rechten Winkel schneiden, egal welchen Wert a annimmt? Es ist doch eine quadratische Funktion, also eine Parabel, die ihren Tiefpunkt immer auf der y-Achse hat, also nicht in X-Richtung verschoben wird. Oder sehe ich das falsch? Oder du meinst vielleicht etwas anderes als ich. Quatsch, sorry! Blödsinn, was ich erzähle. Aber so könnte es tatsächlich gemeint sein, aber die Frage wäre dann wirklich, an welchen Graphen?

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