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Schnittwinkel zweier Wege berechnen

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Differentiation

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Integration

Tags: Differentiation, Funktion, Integration, Schnittwinkel, Weg

Benni444444 aktiv_icon

17:12 Uhr, 17.04.2025

Hallo, ich habe bei folgender Aufgabe ein Problem (siehe Anhang):

Bei Teilaufgaben a bis

c

ist alles klar, bei der

d

verstehe ich nicht wirklich, wie ich zu dem Schnittwinkel komme. Wir haben dafür eine Formel vorgegeben bekommen, aber wenn ich die Wege bzw. die Ableitungen einsetze und mit dem Skalarprodukt berechnen will, komme ich auf kein klares Ergebnis (siehe Anhang).

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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18:47 Uhr, 17.04.2025

So weit so gut.
Du hast noch nicht benutzt, dass wir in einem Schnittpunkt sind. Es gilt also noch:

K_{r} (t_{2}) = γ (t_{1})

, d.h.

r {\cos t}_{2} = e^{c t_{1}} {\cos t}_{1}

und

r {\sin t}_{2} = e^{c t_{1}} {\sin t}_{1}

. Benutze das mal in der Formel für

\cos θ

zur möglichen Vereinfachung.

HAL9000

20:31 Uhr, 17.04.2025

Vor allem weil aus diesen beiden Gleichungen folgt

r = e^{c t_{1}}

sowie auch

\cos (t_{1}) = \cos (t_{2})

und

\sin (t_{1}) = \sin (t_{2})

(was nicht zwingend

t_{2} = t_{1}

bedeutet, sondern "nur"

t_{2} = t_{1} mod 2 π

Benni444444 aktiv_icon

18:19 Uhr, 18.04.2025

Vielen Dank für die Antwort,

habe nur noch eine kurze Frage, wie man darauf kommt, dass

e^{c \cdot t_{1}} = r,

mir ist schon klar, dass daraus dann

sin (t_{1}) = sin (t_{2})

folgt, aber eben den ersten Schritt versteh ich noch nicht ganz.

Danke!

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18:36 Uhr, 18.04.2025

Das brauchst Du gar nicht. Setze die Schnittpunktgleichungen ein (s.o.), und es vereinfacht sich. Ich komme auf

\cos θ = \frac{e c t_{1} \sqrt{c 2 + 1} r}{}

.

Zum anderen Zusammenhang (wozu?):
Ich würde es so machen:
Mit der Schnittpunktsgleichung:
1. Fall:

{\cos t}_{2} = 0 \overset{}{\Leftrightarrow} {\cos t}_{1} = 0

, also

t_{2} = t_{1} + k 2 π

.
2. Fall:

{\cos t}_{1} \neq 0, {\cos t}_{2} \neq 0

: Division der beiden Gleichungen gibt

{\tan t}_{2} = {\tan t}_{1}

, also

t_{2} = t_{1} + k π

k

ungerade führt zum Widerspruch wg

r > 0

und

e^{c t_{1}} > 0

.
Insgesamt also:

t_{2} = t_{1} + k 2 π

, und damit

r = e^{c t_{1}}

.
Geht vlt auch kürzer.

HAL9000

19:07 Uhr, 18.04.2025

> aber eben den ersten Schritt versteh ich noch nicht ganz.

Beide Gleichungen quadrieren ergibt

r^{2} \cos^{2} (t_{2}) = e^{2 c t_{1}} \cos^{2} (t_{1})

r^{2} \sin^{2} (t_{2}) = e^{2 c t_{1}} \sin^{2} (t_{1})

Beide summiert bekommt man

r^{2} = e^{2 c t_{1}}

, also

r = e^{c t_{1}}

, der Rest sollte klar sein.

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19:11 Uhr, 18.04.2025

Zu meinem kryptischen Kommentar oben (das Bearbeitungszeitfenster ging zu bevor ich fertig war):

Das brauchst Du gar nicht. Setze die Schnittpunktgleichungen ein (s.o.), und es vereinfacht sich. Ich komme auf

\cos θ = \frac{e^{c t_{1}}}{r \sqrt{c^{2} + 1}}

Benni444444 aktiv_icon

19:15 Uhr, 18.04.2025

Danke für eure Antworten, jetzt ist alles klar!

HAL9000

19:16 Uhr, 18.04.2025

Und mit der vollen Vereinfachung kommt man auf

\cos (θ) = \frac{1}{\sqrt{c^{2} + 1}}

, also einen Schnittwinkel komplett unabhängig von

r

- typisch für eine solche logarithmische Spirale.

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19:20 Uhr, 18.04.2025

Achso, ja, stimmt. Dann ist der Zusammenhang doch nützlich.

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