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Schranke des Restgliedes bei Taylor-Entwicklung

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Restglied, Schrank, Taylorentwicklung

Mond13 aktiv_icon

12:01 Uhr, 17.09.2018

Hallo zusammen,

ich bin leider im Uni-Mathe absoluter Neuling und kämpfe mich gerade durch Übungsaufgaben um auf eine Klausur zu lernen.
Leider komme ich bei einer Aufgabe zu Taylor-Entwicklung nicht weiter.

Es geht bei dieser Teilaufgabe darum, die Schranke für ein Restglied zu bestimmen. Ich habe auch schon im Internet dazu gesucht, aber nichts wirklich verständliches gefunden (die "Uni-Mathe" Schreibweise muss ich mir noch etwas aneignen :-D)).

Ich füge einen Screenshot der Aufgabe an.

Teilaufgabe

a)

und

b)

habe ich geschafft und komme hierfür auf folgende Ergebnisse:

a)

T_{1} (x) = 4 - 2 x

b)

R_{1} (x) = \frac{1}{2} [- cos (sin (ξ)) \cdot {(cos (ξ))}^{2} + sin (sin (ξ)) \cdot sin (ξ) + 4 sin (2 ξ)] \cdot x^{2}

Bei der

c)

komme ich nicht weiter.

Ich würde mich über eine Hilfe sehr freuen!
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Roman-22

12:45 Uhr, 17.09.2018

a)

und

b)

sind richtig

>Bei der

c)

komme ich nicht weiter.
Hier musst du zunächst den Klammerausdruck

f'' (ξ)

abschätzen.
Ein grobe Schätzung wäre, immer den ungünstigsten Fall

(+ 1

oder

- 1)

anzunehmen, auch wenn das tatsächlich nicht in dieser Kombination auftreten kann. Damit kommst du auf

| f'' (ξ) | \leq 6

und somit wäre dann mit dieser groben Schätzung

c = \frac{6}{2} = 3

.

Wenn dir eine genauere Schätzung einfällt, dann verwende diese

(| f'' (ξ) |

wird tatsächlich nicht größer als ca

4,175)

Mond13 aktiv_icon

09:42 Uhr, 19.09.2018

Hallo Roman,

tut mir leid, dass ich so spät antworte...ich hatte gestern abend noch eine andere Klausur.

Also bedeutet das, dass ich in meinem

f'' (ξ)

für jedes

ξ

einmal die

+ 1

einsetze und danach das ganze ein weiteres mal für

- 1

mache? So habe ich es jetzt versucht zu verstehen, aber das ergibt doch beispielsweise für

+ 1

eine negagative Zahl

(- 0,8601)

?

Ein Kommilitone kommt bei der Aufgabe auch nicht weiter, hat aber gerade im einem Lehrbuch die Aufgabe gefunden und dort steht in der Lösung folgendes:

"Wir schätzen einfach, nach Verwendung der Dreiecksungleichung, jeden
Sinus- und Kosinus-Term betragsmäßig durch Eins ab:

| R_{1} (x) | \leq \frac{1}{2} (1 + 1 + 4) | x^{2} | = 3 x^{2}

."

Das trifft ja auch auf deine Antwort zu (mit den

\leq 6)

. Allerdings vertehen wir das immer noch nicht, was mit "Wir schätzen einfach, nach Verwendung der Dreiecksungleichung, jeden
Sinus- und Kosinus-Term betragsmäßig durch Eins ab" gemaeint ist.

LG

ledum aktiv_icon

11:31 Uhr, 19.09.2018

Hallo
du hast

| R_{1} | = | a + b + c | \leq | a | + | b | + | c |

das ist die Dreiecksungleichung. Man versucht nicht die allerkleinste Möglichkeit rauszufinden, sondern eben eine Abschätzung, (unnötig kompliziert wäre es etwa das globale Max von

f'' (ξ)

zu bestimmen, das würde eine etwas kleinere Schranke (mit viel Aufwand) bringen.
Gruß ledum

Mond13 aktiv_icon

11:53 Uhr, 19.09.2018

Hallo ledum,

vielen Dank für die Antwort!

Ah, ok! Das habe ich jetzt verstanden!

Und nochmal zum Verständniss...der Betrag des Restgliedes

(| R_{1} (x) |)

ist dann die Größe des Fehlers, oder? Also quasi, wenn ich mir den Originalgraph

f (x)

und den der Taylor-Entwicklung

(T_{1} (x))

zeichne, dann ist es der Abstand zwischen

f (x)

und

T_{1} (x),

wenn man sich in x-Richtung vom Entwicklungpunkt entfehrnt?

LG

ledum aktiv_icon

21:45 Uhr, 19.09.2018

Hallo
Deine Abschöäätzung gibt dir nicht den Fehler, sondern sagt nur, dass der Fehler sicher nicht größer ist als deine Abschätzung.
du kannst dir ja mal eine Funktion und das Taylorpolynom dazu zeichnen lassen und das mit dem abgeschätzten Fehler vergleichen, der ist meist deutlich kleiner. der echte Fehler ist

r (x)

wenn man

ξ

kennen würde, aber das ist nie bekannt,
Gruß ledum

Mond13 aktiv_icon

13:16 Uhr, 01.10.2018

@ ledum

Sorry für die späte Antwort!
Ich hab die Funktion

f (x)

(grün) und

T_{1} (x)

(rot) mal zeichnen lassen. Wie genau kann ich das dort jetzt mit dem Fehler, bzw. Restglied interpretieren?

Ich hbae jetzt auch nochmal eine Frage zu der Abschätzung. Ich habe das doch noch nicht ganz verstanden mit der Aussagen, dass ich folgendes abschätzen kann:

R_{1} (x) = \frac{1}{2} \cdot [- cos (sin (ξ)) \cdot {cos}^{2} (ξ) + sin (sin (ξ)) \cdot sin (ξ) + 4 \cdot sin (2 \cdot ξ)] \cdot x^{2}

Dreiecksungleichung:

| R_{1} | = | a + b + c | \leq | a | + | b | + | c |

| R_{1} (x) | \leq \frac{1}{2} \cdot (1 + 1 + 4) \cdot | x^{2} | = 3 x^{2}

Ich verstehe immer noch nicht, wie ich auf die

(1 + 1 + 4)

komme? Sage ich, ich suche bei jedem Summanden immer das größt mögliche?
Also für

- cos (sin (ξ)) \cdot {cos}^{2} (ξ)

wähle ich

ξ = 0

um auf die 1 zu kommen;
für

sin (sin (ξ)) \cdot sin (ξ)

wähle ich

ξ = 1;

und für

4 \cdot sin (2 \cdot ξ),

was wähle ich da für

ξ

Roman-22

17:12 Uhr, 01.10.2018

>

Sage ich, ich suche bei jedem Summanden immer das größt mögliche?
Im Grunde ja.
Lagrange sagt ja nur, dass es ein

ξ

gibt, für das der Ausdruck genau dem Fehler der Näherung, also das Restglied, ist. Nur wissen wir nicht für welches

ξ

.
Also nehmen wir den schlechtest möglichen Fall an, dann ist der Fehler sicher kleiner.
Du könntest nun sehr aufwändig eine Extremwertsaufgabe aus der Sache machen, also den Term nach

ξ

ableiten, Null setzen und nach

ξ

auflösen (viel Vergnügen ;-) Das liefert dann den wahren Maximalwert für den Fehler (natürlich nicht den Fehler selbst, der liegt außerhalb unserer Möglichkeiten).
Ich habe mir die Sache leichter gemacht und einfach benutzt, dass sin und

cos

maximal 1 werden können und habe daher jeden auftretenden positiven sin oder

cos

durch 1 ersetzt und zwar ungeachtet der Tatsache, dass etwa die Kombination

sin (2 ξ) = cos (ξ) = 1

nie auftreten kann. Damit bekam ich dann eine noch gröbere Abschätzung aber immer noch einen Wert von dem sicher ist, dass der tatsächliche Fehler nie umd nimmer größer sein kann.

Mond13 aktiv_icon

15:32 Uhr, 03.10.2018

Alles klar! Danke! ;-)

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