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Signum funktion h-Methode

Lehrer

Tags: h-methode, linksseitiger und rechtsseitiger Grenzwert, Signum Funktion

Kudin

13:33 Uhr, 10.10.2015

Hallo,
ich soll nachweisen, dass die sgn Funktion an der Stelle x=0 nicht differenzierbar ist, also der links- und rechtsseite Grenzwert nicht gleich ist.

rechte Seite:

$\lim_{h \to 0} \frac{f (0 + h) - f (0)}{0 + h - 0} = \lim_{h \to 0} \frac{1 - 0}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} = \infty$

linke Seite:

$\lim_{h \to 0} \frac{f (0 - h) - f (0)}{0 - h - 0} = \lim_{h \to 0} \frac{- 1 - 0}{- h} = \lim_{h \to 0} \frac{- 1}{- h} = \lim_{h \to 0} \frac{1}{h} = \infty$

Wo habe ich den Fehler gemacht? Für den linksseitigen Grenzwert müsste sich doch ein anderer ergeben, oder?

Die Funktion ist doch bei x=0 nicht differenzierbar?

Vielen Dank für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode

DrBoogie aktiv_icon

14:54 Uhr, 10.10.2015

Die Funktion ist nicht stetig in

0

, deshalb auch nicht diff-bar.
Die

h

-Methode in diesem Fall anzuwenden halte ich für ziemlich sinnlos, aber auch sie zeigt, dass die Funktion nicht diff-bar ist, denn es kommt kein endlicher Grenzwert raus, egal ob links oder rechts. Und das der linke Grenzwert und der rechte Grenzwert gleich zu sein scheinen, das tut nichts zu Sache, denn

\infty

ist kein zugelassener Wert für einen Grenzwert.

Kudin

15:03 Uhr, 10.10.2015

Nach dem Lösungsbuch ist der linksseitige Grenzwert $- \infty$ , bei mir kommt aber + $\infty$ raus.... ist das nicht der Grund für nicht Differenzierbarkeit?

Es heißt doch, wenn der links und der rechtsseiteige Grenzwert identisch sind, ist die Funktion diffbar. Aber nur für einen festen Wert? Meinst du das?

She-Ra aktiv_icon

15:09 Uhr, 10.10.2015

Ja da muss ich Drboogie Recht geben, die h-Methode macht hier kein Sinn, bei der h-Methode geht's in erster Linie darum die Ableitung einer Funktion zu bestimmen, wozu soll man das hier machen, den Grund für die nicht Diffbarkeit bei x=O hast du schon bekommen!

Es gilt die Implikation aus nicht stetigkeit bei x=O folgt nicht Diffbarkeit bei X= 0 fertig.

DrBoogie aktiv_icon

15:09 Uhr, 10.10.2015

Wenn Du auch nur auf einer Seite

\infty

rausbekommst, ist die Funktion schon nicht mehr diff-bar, fertig.
Kuck die Definition, das steht klipp und klar, dass nur ein endlicher Grenzwert Diff-barkeit bedeutet.

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