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Signumfunktionen (Stetig/Unstetig)

Schüler

Tags: Betrag, signum, Signumfunktionen, Stetigkeit, Unstetigkeit

Machnix aktiv_icon

17:36 Uhr, 02.11.2011

Ich soll bei den folgenden 4 Funktionen schreiben, wo der Graph stetig und unstetig verläuft.

1.

f (x) = 4 (x - 1) \to

Stetig für alle

x

f (x) =

sgn(x^2)/sgn(x)

\to

Das wäre ja zusammengefasst f(x)=sgn(x) und dort ist ja eine Definitionslücke bei

x = 0;

Der Rest ist stetig

3.

f (x) = \sqrt{x}

/sgn(x)

(\sqrt{x} :

Das

x

hat Betragsstriche

4.

f (x) = \sqrt{x}

/sgn(x)

Wie zeichne ich die Funktionen von 3 und 4? Wie sehen die aus? Wir hatten bis jetzt noch kein Signum und von anderen Seiten werd´ich nicht schlauer.

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

DmitriJakov aktiv_icon

17:45 Uhr, 02.11.2011

Die Funktion "Signum" springt. Sie ist

- 1

für alle

x < 0

. An der Stelle

x = 0

springt sgn(x) auf Null und für

x > 0

springt sie dann auf 1.

sgn

(x^{2})

ist also immer 1 für

x^{2} \neq 0,

weil

x^{2}

immer positiv ist. Und für

x = 0

wird sgn

(x^{2}) = 0

für

x < 0

ist

\frac{s g n (x^{2})}{s g n (x)} = \frac{1}{- 1} = - 1

für

x > 0

ist

\frac{s g n (x^{2})}{s g n (x)} = \frac{1}{1} = 1

Die Funktion ist nicht stetig.

Machnix aktiv_icon

17:48 Uhr, 02.11.2011

Das war ja Aufgabe 2.

Das hab ich ja auch so geschrieben oder?

Stetig für

x < 0 \to (f (x) = - 1)

Definitionslücke/Sprung bei

x = 0

Stetig für

x > 0 \to (f (x) = 1)

Aber 3 und 4 versteh ich nicht

Machnix aktiv_icon

17:55 Uhr, 02.11.2011

Ah ich glaub ich hab´s verstanden!

4)

für

x < 0

ist

\frac{\sqrt{x}}{}

sgn(x)

= \frac{\sqrt{x}}{- 1}

für

x > 0

ist

\frac{\sqrt{x}}{}

sgn(x)

= \frac{\sqrt{x}}{1}

und weiter..?

Wo ist der Unterschied bei

\sqrt{x}

und

\sqrt{x}

mit Betragsstrichen??

Betrag gibt ja an, dass der Graph unterhalb der x-Achse gespiegelt ist. Aber

\sqrt{x}

verläuft ja nicht unter der x-Achse, also keine Spiegelung. Wo ist da dannder Unterschied bei den Funktionen?

DmitriJakov aktiv_icon

18:07 Uhr, 02.11.2011

Vorsicht

. .

. was ist denn

\sqrt{x}

bei

x < 0

?

Und zur Betrachtung der Stetigkeit: Du kannst bei Aufgabe 2 nicht sagen, dass die Funktion bei

x < 0

stetig ist und bei

x > 0

ebenfalls stetig ist. Das hat keinen "Unterhaltungswert" ;-). Interessant ist die Stelle

x = 0

. Wegen der Definitionslücke kann sie an dieser Stelle schonmal nicht stetig sein. Aber weil der linksseitige Grenzwert

- 1

ist und der rechtsseitige Grenzwert

+ 1

beterägt, ist sie auch nicht stetig fortsetzbar.

Machnix aktiv_icon

10:43 Uhr, 05.11.2011

Okay Danke

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