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Sind diese Aussagen wahr, oder falsch?

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Funktionen

Tags: Funktion, Funktionalanalysis

Biber123 aktiv_icon

21:52 Uhr, 14.02.2011

Hallo,

ich habe ein Problem und zwar schreibe ich morgen eine Matheklausur und muss folgende Aussagen mit richtig oder falsch bewerten:

1. Ein Polynom 4-ten Grades hat höchstens zwei Wendepunkte.

2. Ein Polynom Pn(x) = AnX^n

+ ... + A 1 X + A 0

ist immer monoton wachsend auf ganz

R,

falls Ai

>_{0}

für alle

i = 1, ..., n

2 b

. Ein Polynom Pn(x) = AnX^n

+ ... + A 1 X + A 0

ist immer monoton wachsend auf

[

0,unendlich], falls Ai

>_{0}

für alle

i = 1, ..., n

3. Die Funktion

f (x) = x^{3} ln (| x |) e^{x} + x^{5} - 13 x^{Π}

besitzt auf dem Intervall

[42,2009]

ein globales Minimum.

3 b

. Die Funktion

f (x) = x^{3}

exp

(| x |) + x^{5} - 13 x^{42}

besitzt auf dem Intervall

[

42,unendlich] ein globales Maximum.

4. Die Differenz zweier konkaver Funktionen ist immer konkav.

4 b

. Die Summe zweier konkaver Funktionen ist immer konkav.

5. Eine differenzierbare streng monoton fallende Funktion

f :

(0,unendlich)

\to

(0,unendlich) hat eine negative Elastizität.

6. Sind

{(1,1,0)}^{T}

und

{(0,1,1)}^{T}

Lösungen eines linearen Gleichungssystems Ax=0, so ist auch

{(2,4,2)}^{T}

eine Lösung.

6 b

. Sind

{(1,1,0)}^{T}

und

{(0,1,1)}^{T}

Lösungen des linearen Gleichungssystems Ax=0, so ist auch

{(2,3,2)}^{T}

immer eine Lösung.

7. Es gibt differenzierbare Funktionen mit unendlich vielen lokalen Extrema.

Ich weiß wirklich nicht, wo ich die Antworten auf diese Fragen sonst finden soll und habe nur noch sehr wenig Zeit. Es wäre eine unendlich große Hilfe, wenn mir jemand sagen könnte, welche von diesen Aussagen richtig sind und welche nicht. Die wiederholen sich nämlich in jeder Klausur.

Vielen Dank!!!

Sarah

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

CKims aktiv_icon

22:03 Uhr, 14.02.2011

aber nur damit die profs endlich mal abwechslung in die klausuren bringen ;-)

im schnelldurchlauf... deshalb nur zu

90 %

sicherheit auf richtigkeit.

1. wahr

2. falsch

2 b

. wahr

3. muss noch denken

3 b

. muss noch denken

4. falsch

4 b

. wahr

5. was ist eine elastizitaet???

6. wahr

6 b

. falsch

7. wahr

Biber123 aktiv_icon

22:12 Uhr, 14.02.2011

Ist echt total klasse, dass Du so schnell geantwortet hast!! In meinem Buch steht folgende Formel (siehe Bild) zur Berechnung der Elastizität:

CKims aktiv_icon

22:21 Uhr, 14.02.2011

5. ist dann wahr

hagman aktiv_icon

22:34 Uhr, 14.02.2011

Bei 3 muss mannatürlich nicht nachdenken: Die gegebene Funktion iststetig, nimmt also auf dem kompakten Intervall

[42,2009]

ihr Maximum an (möglicherweise an einem der beiden Randpunkte - naja, mit ganz grober Abschätzung: garantiert am rechten Rand).

Bei

3 b

muss es

[42, \infty)

statt

[42, \infty]

heißen. Für

x \to + \infty

wächst die Funktion unbeschränkt, daher wird kein globales Maximum angenommen.

Allgemeiner Kommentar: Ich halte es für erheblich schwieriger und fehleranfälliger, zu diesen Fragestellungen die bitweisen Antworten "wahr/falsch" zu merken als zwei Sekunden pro Aufgabe nachzudenken.
Beipsielweise: 1. Wendepunkte sind Nullstellen der zweiten Ableitung, beim Ableiten geht der Grad eines Polynoms um eins herunter, die zweite Ableitung eines Polynoms 4. Grades ist also ein Polynom 2. Grades. Da ein Polynom n-ten Grades höchstens

n

Nullstellen hat (beim 2. Grad durch die pq-Formel bekannt), folgt die Behauptung.
Oder

7 . :

Ein ganz offensichtliches Beispiel ist die Sinusfunktion (ein weniger offensichtliches die Nullfunktion)

Biber123 aktiv_icon

00:50 Uhr, 15.02.2011

Danke für eure Hilfe!

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