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Stetig ergänzbar hebbar Sprungstelle Polstelle ?

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Polstelle, Sprungstelle, stetig, stetig behebbar, stetig ergänzbar, Stetigkeit

phoebe2911 aktiv_icon

12:16 Uhr, 11.11.2014

Hallo ihr Lieben! Ich hab ein Problem! Ich schreib am Donnerstag meine Mathe Vorleistung und habe es echt nicht einfach mit Mathe. Aaaaber ich bin ziemlich ehrgeizig, also wenn ich es erstmal verstanden habe dann versteh ich es auch.

Zu meinem Problem:

Ich habe das Gefühl, dass ich vieles in einen Topf schmeiße und die einzelnen Sachen nicht differenzieren kann.

Also ich habe gelernt dass eine Funktion stetig behebbar ist, wenn Nullstelle = Definitionslücke ist und es eine Polstelle ist wenn die Nullstelle ungleich der Definitionslücke ist. (richtig? und wann ist es nur stetig?)Dann kam auf einmal noch die Sprungstelle und die stetig ergänzbare Funktion ins Spiel. Es ist eine Sprungstelle, wenn der linksseitige und rechtsseitige Limes ungleich ist und es ist stetig, wenn die Grenzwerte gleich sind. Stetig ergänzbar ist die Funktion, wenn der Limes gleich ist und die Definitionsabschnitte mit

>

und

<

definiert sind.

Nun das weiß ich. Aber: Wann wende ich den Grenzwert an un wann berechne ich einfach Df-lücken und Nullstellen?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Viele Grüüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Grenzwerte an einer Stelle

rundblick aktiv_icon

13:50 Uhr, 11.11.2014

"
dass eine Funktion stetig behebbar ist, wenn Nullstelle = Definitionslücke ist
und es eine Polstelle ist wenn die Nullstelle ungleich der Definitionslücke ist.
(richtig?
"

- - -

NEIN , dass ist weit weg von "richtig" - vergiss es ..

es ist vielleicht sinnvoll, die Begriffe an irgendeinem einfachen Beispiel
zu erklären:
also ..

f (x) = \frac{x^{2} + x}{x^{2} - 1}

\to f

ist überall stetig

\to

AUSSER dort, wo der NENNER gleich 0 wird

- -

dh: die Unstetigkeitsstellen (oder die Definitionslücken von

f)

sind bei

x_{1} = - 1

und bei

x_{2} = + 1

\to

Und erst jetzt kommen die Begriffe Pol oder ". Stetig ergänzbar " ins Spiel:
und zwar wird das Verhalten von

f

bei diesen Nullstellen des Nenners genauer angeschaut

\to

a) \to

bei

x = - 1

wird gleichzeitig auch der Zähler gleich 0
aber wohlgemerkt

x = - 1

ist keine Nullstelle von

f,

denn

f

ist unstetig bei

x = - 1 (

dh es gibt dort ja keinen Funktionswert.)

ABER nun kann man den Grenzwert

lim_{x > - 1} f (x)

untersuchen und falls dieser
existiert

. . (

was bei diesem Beispiel mit

g = \frac{1}{2}

der Fall ist ) dann sagt man:

f

kann durch Hinzunahme des Wertes

\frac{1}{2}

in die Stelle stetig fortgesetzt werden.
(Es handelt sich also um eine Definitionserweiterung für

f,

womit dann das
mit

f (- 1) = \frac{1}{2}

erweiterte

f

die Definitionslücke geschlossen bekommt.

b) \to

anders sieht es an der Stelle

x = 1

aus:
dort ist

f

nicht definiert und bei

x = 1

hat

f

einen POL mit Vorzeichenwechsel..

3.

\to

noch kurz zu den Nullstellen von

f \to

die sind dort, wo der Zähler 0 und der
Nenner NICHT 0 wird.
im Beispiel hast du also eine Nullstelle (wo? bei

x =

? )

⋆ ⋆ \cdot

\to

ganz anders sieht die Lage bei endlichen Sprungstellen aus
da ist

g (x)

meist abschnittsweise definiert
Beispiel:

g (x) = x^{2} .

. für alle

x < 1

UND

g (x) = x + 3 .

. wenn

x \geq 1

die so definierte Funktion

g

ist an der Stelle

x = 1 \to

unstetig
sie hat dort eine endliche Sprungstelle .. die du nun selbst untersuchen kannst

\to .

.

ok?

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