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Stetige Ergänzbarkeit bei Funktionen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: ergänzbar, Funktion, stetig

8mileproof aktiv_icon

20:43 Uhr, 26.11.2011

ich muss zeigen, dass folgende funktion stetig ergänzbar ist:

g : ℝ

{

x_{1}, x_{2}} \to ℝ,

g (x) = \frac{x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - x + 2}{x^{2} - 1}

also ich habe jetzt dabei sofort an die definitionslücke gedacht und für

x

eine 1 und eine

- 1

eingesetzt.

also ist bei mir

x_{1} = 1

und

x_{2} = - 1

. war´s das jetzt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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20:50 Uhr, 26.11.2011

Fertig bist du jetzt noch nicht. Da du ergänzen sollst, musst du die Funktionswerte angeben, die sich für

x = 1

bzw.

x = - 1

ergeben, also berechnen wie sich die Funtkion an den beiden Stellen fortsetzen lässt. Auch hier solltest du mal den Zähler faktorisieren, ihn also in Linearfaktoren zerlegen. (Polynomdivision oder Hornerschema)

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20:58 Uhr, 26.11.2011

ich muss also den zähler nehmen und einmal durch

(x - 1)

und danach durch

(x + 1)

teilen (polynomdivision). meintest du das?

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20:58 Uhr, 26.11.2011

Ja, zum Beispiel.

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21:00 Uhr, 26.11.2011

okay, nachdem ich das getan habe, werde ich meine ergebnisse hier posten...danke für den tipp...

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21:12 Uhr, 26.11.2011

also ich habe folgendes berechnet:

(x^{4} + x^{3} - 3 x^{2} - x + 2) : (x - 1) = x^{3} + 2 x^{2} - x - 2

und dann

(x^{3} + 2 x^{2} - x - 2) : (x + 1) = x^{2} + x - 2

ist jetzt

x^{2} + x - 2

das ergebnis ?

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21:13 Uhr, 26.11.2011

Das ist jetzt deine Ursprungsfuntkion umgeschrieben. Jetzt kannst du problemlos schauen was an den Stellen

1

und

- 1

passiert, bzw. wie man die Funtkion da fortsetzen kann.

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21:16 Uhr, 26.11.2011

also wenn ich in diese "umgeschriebene" funktion meine 1 und

- 1

jeweils einsetze..bekomme ich für 1 eine 0 und für

- 1

eine 4 . meinst du das?

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21:18 Uhr, 26.11.2011

Was kommt für

x = - 1

raus?

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21:21 Uhr, 26.11.2011

ups...für

x = - 1

kommt

- 2

raus...sry;-)

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21:22 Uhr, 26.11.2011

Jetzt stimmt es.

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21:26 Uhr, 26.11.2011

bis hierhin hab ich das dank deiner hilfe sehr gut verstanden...aber wie schreibe ich den antwortsatz auf? so etwa(?) :

- 2,

falls

x = - 1

0,

falls

x = 1

oder wie?

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21:27 Uhr, 26.11.2011

Genau, und ansonsten halt die Ursprungsfunktion.

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21:29 Uhr, 26.11.2011

super, danke...alles auf anhieb verstanden...jetzt mache ich mich mal an die nächste aufgabe...

8mileproof aktiv_icon

21:40 Uhr, 26.11.2011

ich habe jetzt eine weitere ähnliche aufgabe die mit der stetigen ergeänzbarkeit zu tun hat und bei der ich echt probleme habe:

f : ℂ {0} \to ℂ

f (z) = \frac{e^{z} - 1}{z}

hier muss ich doch zeigen, das die funktion an der stelle

z_{0} = 0

stetig eränzbar ist.
für

e^{z}

wir in der aufgabenstellung folgeder hinweis gegeben: benutzen Sie für

e^{z}

die reihenentwicklung der exponentialreihe.
ich habe dazu bei wikipedia folgendes gefunden : exp(x)

= \sum_{n = 0}^{\infty} = \frac{x^{n}}{n!}

muss ich etwa auch hier die polynomdivision machen?

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21:47 Uhr, 26.11.2011

\frac{e^{z} - 1}{z} = (\frac{1}{z} \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}) - \frac{1}{z}

Zieh

\frac{1}{z}

in die Summe rein, schreib die ersten Glieder hin, spalte das erste Glied ab, schreib die restlichen wieder in eine Summe und melde dich dann nochmal :-)

8mileproof aktiv_icon

21:54 Uhr, 26.11.2011

ach so okay...ich habe folgendes rausbekommen:

\frac{1}{z} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!} - \frac{1}{z} = \frac{1}{z} \cdot (1 + z + \frac{z^{2}}{2} + \frac{z^{3}}{6}) - \frac{1}{z} = \frac{1}{z} + \frac{z}{z} + \frac{z^{2}}{2 z} + \frac{z^{3}}{6 z} - \frac{1}{z} = 1 + \frac{z}{2} + \frac{z^{2}}{6}

ist das richtig so?

ach so jetzt habe ich

1 + \frac{z}{2} + \frac{z^{2}}{6}

und jetzt muss ich wie oben

z = 0

einsetzen und schauen was sie an der stelle 0 macht, oder?

edit: also kommt 1 raus für

z = 0

stimmts?

dapso aktiv_icon

21:58 Uhr, 26.11.2011

Ja, sehr schön.

Also hast du das in der Reihenschreibweise wieder als

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{z^{n}}{n!}

8mileproof aktiv_icon

22:00 Uhr, 26.11.2011

super, endlich ein erfolg....die bestätigung dass ichs endlich verstanden habe....dank dir;-)

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