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Stetigkeit und stetige Fortsetzbarkeit

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: stetige Fortsetzbarkeit, Stetigkeit

CrazyEight aktiv_icon

10:08 Uhr, 27.11.2015

Moin Leute
hänge grade an dieser Aufgabe:

Fur welche

x

∈

R

sind folgende Funktionen stetig bzw. stetig fortsetzbar? und wie kriegt man hier bei onlinemathe den zahlenbereich

R

zu einem IR ??? :-D)

Also

f (x) = \frac{x}{sin (2 x)}

Habe mir gedacht wofür ist das Definiert:

D_{f =} {R

(\frac{1}{2}) π \cdot m} ⊢ m \in Z

ihr wisst was ich meine :-P) der will da kein einzelnes "Backslash" haben... warum auch immer.

So also weiter im Text:

Also dass

f (x)

unstetig ist ist ja schon klar und dass d´sie stetig fortsetzbar ist ist eigentlich auch logisch.
Nur die stetige fortsetzbarkeit muss ich ja jetzt noch zeigen indem ich den linksseitigen und rechtsseitigen Grenzwert um meine Definitionslücke bilde.
Nun hab ich aber unendlich viele solcher definitionslücken...

Habe mir folgendes überlegt:

Ich setze einmal in

f (x)

für mein

x = \frac{1}{2} π m + \frac{1}{n}

und einmal

x = \frac{1}{2} π m - \frac{1}{n}

ein und bilde dann den grenzwert für

n \to \infty

dann komme ich auf folgendes

\frac{\frac{1}{2} π m + \frac{1}{n}}{sin (2 (\frac{1}{2} π m + \frac{1}{n}))}

= \frac{\frac{1}{2} π m + \frac{1}{n}}{sin (π m + \frac{2}{n})}

jetzt kriege ich das aber nicht richtig aufgelöst dass etwas gescheites rauskommt...

helfen vielleicht Additionstheoreme ?

Danke schonmal im Vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

10:12 Uhr, 27.11.2015

"wie kriegt man hier bei onlinemathe den zahlenbereich zu einem IR ???"

\mathbb{R}

"Also dass unstetig ist ist ja schon klar und dass d´sie stetig fortsetzbar ist ist eigentlich auch logisch."

f

ist nur in

0

stetig fortsetzbar.

"Nun hab ich aber unendlich viele solcher definitionslücken."

Aber sie haben alle, bis auf

0

, gleiches Muster: im Grenzwert hast Du im Zähler hast Du einen Wert

\neq 0

und im Nenner

0

, es kommt also

\frac{a}{0} = \pm \infty

raus, was die stetige Fortsetzbarkeit unmöglich macht.

CrazyEight aktiv_icon

10:33 Uhr, 27.11.2015

ah ok also hier ist der linksseitige nicht der selbe wie der rechtseitige grenzwert ja? aber wie zeig ich das?

ℝ

nur mal zum testen

sieht ein bisschen komisch aus oder

:' D

DrBoogie aktiv_icon

10:36 Uhr, 27.11.2015

Dort existieren auch linksseiteige und rechtseitige Grenzwerte nicht, denn

\infty

ist kein zugelassener Wert für einen Grenzwert, wenn es um Stetigkeit geht.
Das zeigt man einfach so: es kommt

\frac{a}{0}

raus, mit

a \neq 0

, das ist alles, damit gibt's keinen endlichen Grenzwert.

CrazyEight aktiv_icon

11:20 Uhr, 27.11.2015

den definitionsbereich kann ich aber so angeben um zu zeigen dass f(x) unstetig ist oder?

DrBoogie aktiv_icon

11:42 Uhr, 27.11.2015

Ja, der Definitionsbereich ist zuerst mal

R \ {\frac{π m}{2} : m \in Z}

. In

0

kann man die Funktion stetig fortsetzen, weil

lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\sin (2 x)} = 1

. In den Punkten

{\frac{π m}{2} : m \in Z \ {0}}

ist stetige Fortsetzung nicht möglich, weil

lim_{x \to \frac{π m}{2}} \frac{x}{\sin (2 x)} = + \infty

oder

- \infty

, je nach dem Wert von

m

CrazyEight aktiv_icon

11:47 Uhr, 27.11.2015

Kriegt man das jetzt noch iwie rechnerisch gezeigt? kriege halt den sinus nicht aus dem nenner... oder muss man sich damit abfinden dass das einfach ne logische folgerung ist?

DrBoogie aktiv_icon

11:57 Uhr, 27.11.2015

Ich weiß nicht, was Du mit "rechnerisch gezeigt" meinst.
Dass

\frac{f (x)}{g (x)} \to + \infty

, wenn

f (x) \to a > 0

und

g (x) \to 0

, ist eine von Basiseigenschaften von Grenzwerten, das wird wie gewöhlich bewiesen (für jedes

M

gibt's ein

δ

, so dass für alle

x

mit

∣ x - x_{0} ∣ < δ

gilt

\frac{f (x)}{g (x)} \geq M

).
Und da Sinus stetig ist, weißt Du, dass

\sin (2 x) \to 0

bei

x \to π m / 2

ledum aktiv_icon

12:38 Uhr, 27.11.2015

Hallo
um bei 0 stetig zu ergänzen kannst du nicht eine spezielle Folge von

x_{n}

einsetzen! denn für Stetigkeit gilt : Alle Folgen

x : n

mit

x_{n} \to 0

müssen denselben GW habeen.
spezielle folgen kann man nur für Unstetigkeit benutzen.
Gruß ledum

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