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Stetigkeit von sin(x)
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 13:03 Uhr, 19.11.2005  |
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Hallöchen! Ich muss beweisen, das sinx stetig ist, für alle x element der reellen Zahlen! Genutzt werden soll die epsilon-delta-definition. Leider hab ich mich jetzt schon 2 Stunden damit befasst und komm damit nich klar - vielleicht kann mir hier einer helfen und den beweis mal verfassen, damit ich ihn nachvollziehen kann? MfG Basti |
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| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) | |
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anonymous 19:04 Uhr, 19.11.2005 |
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Wie habt ihr sin(x) denn definiert und was weißt du über die Funktion? Man kann sin(x) z.B. durch: 1/(2i)*exp(ix) - exp(-ix) definieren. Falls ihr das voraussetzen dürft, reicht es auch die Stetigkeit der Exponentialfunktion im Komplexen nachzuweisen. Die Stetigkeit von sin folgt dann direkt, da die stetigen Funktionen einen IR-Vektorraum bilden. |
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anonymous 19:07 Uhr, 19.11.2005 |
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| Ich meinte natürlich, sie bilden einen IC-Vektorraum... | |
anonymous 20:26 Uhr, 19.11.2005 |
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Nein das geht zu weit Littlehelper! wir arbeiten gänzlich ohne Komplexe Zahlen also wäre dieser Beweis auch mehr als zu kompliziert. Uns wurde nur zur Aufgabe gestellt unbedingt epsilon-delta-dfeinition zu verwenden =) |
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@ LittleHelper, sieht das nicht nach Abschätzung des entsprechenden Additionstheorems für sinus aus? |
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Hmmm... offen bleibt die Frage von LittleHelper an Basti, wie ihr die Sinusfunktion eingeführt habt. Die "epsilon-delta-Definition" auf die Zeichenkette 'sin x' loslassen, wird nicht von Erfolg gekrönt sein, wenn sich dahinter nicht eine mathematische Definition verbirgt. Gruß, Marco |
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anonymous 14:50 Uhr, 20.11.2005 |
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wir hatten keine besondere Einführung der Sinus Funktion. Ich denke auch, das der Beweis nicht zwangsläufig über eine Umformung geschehen muss. Im internet hab ich mich mal schlau gemacht und einen Satz gefunden der folgendes besagt: |sinx| <= |x| |sinx - sina| <= |x - a| Damit ergibt sich folgender vereinfachter beweis, wenn a€ R und epsilon>0. Delta wird als delta = epsilon gewählt |sinx - sina| <= |x-a| < epsilon = delta beweis Ende. Aber das is ganz schön kurz. Beweis steht hier: www-ifm.math.uni-hannover.de~koeditz/Analysis1/Ana1_S9.pdf |
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anonymous 16:01 Uhr, 20.11.2005 |
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Hallo nochmal, Dann hängt aber wieder alles an dem Beweis, dass |sin(x)-siny)| <= |sin(x-y)| ist. Den findest du dann hier www-ifm.math.uni-hannover.de~koeditz/Analysis1/Ana1_S8.pdf (Satz 10.7) Allerdings hängt der Beweis dann wieder mit dem Beweis der Additionstheoreme zusammen. Die wiederum kannst du dann ja nur geometrisch beweisen, weil ihr die Definition über die Exponentialfunktion nicht hattet. Ein geometrischer Beweis kann allerdings in der Analysis nicht verlangt sein... Ein Teufelskreis... ;) Fazit: Setze einfach die Additionstheoreme als gegeben voraus und beweise obiges, so wie im besagten Satz 10.7, womit du ja dann auch direkt die Stetigkeit beweisen kannst. Mehr kann man nicht verlangen, wenn man euch schon einfach so die Sinus-Funktion vorsetzt, ohne irgendwas dazu bewiesen zu haben... |
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anonymous 17:35 Uhr, 20.11.2005 |
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Hey! Jo, genau den Sat 10.7 hab ich auch hingeschrieben (mit Verweis auf das Skript). Dann hab ich mir alles durchdacht, wie es da steht und mir auch gesagt für 2 Punkte und der minimalistischen Anzahl von Beweisen in unserem Skript könnte das schon so passen. Kein Wunder, ich studiere ja auch ein informationstechnisches Fach und habe demzufolge eine "entschärfte" Analysis Vorlesung ;) Danke in sofern für deine Zurede :) |
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