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Substitution x^8 + x^4 = 18x^4 - 16

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: polynom, Substituieren, Substitution

Fischmob aktiv_icon

12:01 Uhr, 17.08.2009

Hallo,

ich versuche die Lösungsmenge der Aufgabe

x \land 8 + x \land 4 = 18 x \land 4 - 16

herauszufinden.
nach kurzem umformen erhält man

x \land 8 - 17 x \land 4 + 16 = 0

Wenn ich nun

x^{4}

mit

u

substituire erhalte ich

u \land 4 - 17 u + 16 = 0 .

Müsste man jetzt die Gleichung mit Hilfe der Polynomdivision weiter auflösen? Habe dies bereits versucht komme aber irgendwie nicht auf das richtige Ergebnis.

Ist der Ansatz bisher richtig und wie müsste man weiter vorgehen?

Ich freue mich über jeden Beitrag, der mir weiter hilft!

Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Spieler5 aktiv_icon

12:04 Uhr, 17.08.2009

x^{8} - x^{4} = 18 x^{4} - 16

x^{8} - 19 x^{4} + 16 = 0

so meinst du das wohl, oder?

Tipp:

x^{6} = {(x^{2})}^{3}

Edit:

Im Titel ist die Aufgabe mit einem Plus. Bei

x^{8} + x^{4} = 18 x^{4} - 16

kommen auch schönere Ergebnisse raus.

Heybo aktiv_icon

12:13 Uhr, 17.08.2009

hehe lies deine substitution doch nochmal nach

\land

Shipwater aktiv_icon

12:31 Uhr, 17.08.2009

Hallo,

Deine Substitution:

u = x^{4}

Also ist

u^{2} = {(x^{4})}^{2} = x^{8}

Somit hast du dann eine quadratische Gleichung, die du locker lösen kannst.

Shipwater

valja aktiv_icon

12:33 Uhr, 17.08.2009

Hallo Fischmob,
bist du sicher, dass du die Aufgabe richtig abgetippt hast?
Valja

Shipwater aktiv_icon

12:42 Uhr, 17.08.2009

Hallo Spieler5,

du hast Recht, die Aufgabe solle wahrscheinlich so wie es im Titel steht, heißen, denn er schreibt ja auch:

"nach kurzem umformen erhält man

x^{8} - 17 x^{4} + 16 = 0

", was somit richtig wäre.

Gruß Shipwater

Fischmob aktiv_icon

12:44 Uhr, 17.08.2009

Ja das stimmt genau, so soll die Aufgabe heißen. Das Zirkumflex ist irgendwie auf der Strecke gelblieben

Fischmob aktiv_icon

12:46 Uhr, 17.08.2009

x \land 8 + x \land 4 = 18 x \land 4 - 16

Shipwater aktiv_icon

12:48 Uhr, 17.08.2009

Hi,

x^{8} - 17 x^{4} + 16 = 0

Wenn du jetzt

x^{4} = u

substituierst, entsteht:

u^{2} - 17 u + 16 = 0

Das ist nun eine normale quadratische Gleichung.

Gruß Shipwater

PS:

x^{8}

schreibst du so "x^8", du aber schreibst

x \land 8,

also so "x^^8" ;-)

valja aktiv_icon

12:49 Uhr, 17.08.2009

Kann die Aufgabe

x^{8} + x^{4} = 18 x^{4} - 16

sein?

Fischmob aktiv_icon

12:53 Uhr, 17.08.2009

Hallo,

Danke Shipwater. Habs jetzt. In dem Übrungsbuch mit dem ich gerade lerne stand wohl ein falsches Ergebnis, das hat mich die ganze Zeit irritiert.

Danke an alle für die schnelle Hilfe

Shipwater aktiv_icon

12:56 Uhr, 17.08.2009

Wie lautet denn das falsche Ergebnis?
Hast du auch wieder rücksubstituiert?

Fischmob aktiv_icon

13:02 Uhr, 17.08.2009

In der Lösungsmenge steht