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Summe in Integral Umwandeln

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Integration

Tags: Integration

mathefragenhabich aktiv_icon

14:58 Uhr, 31.07.2014

Hallo zusammen,

ich muss für ne elektronische Berechnung eine Summe irgendwie einfach berechenbar machen.
Deshalb würde ich gerne wissen wie man folgende Summe in ein Intergral umwandelt bzw. wie man da auch allgemein vorgeht.
(Oder ob das ganze bei meinem Beispiel überhaupt geht)
Unser Analysis Prof war leider nicht so der Hammer...

U_{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(\frac{C_{1} * (U_{m a x} - (\sum_{n = 1}^{\infty} U_{n - 1})}{t} - I) * t}{C_{2}} * e x p (\frac{t}{τ})

Ich hoffe ihr könnt mir weiter helfen

Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Flächenberechnung durch Integrieren
Stammfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

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16:36 Uhr, 31.07.2014

Hm, also unabhängig von Deiner Frage kann ich Deine "Formel" überhaupt nicht verstehen!

Da steht die äußere (große) Summe, aber in dem zu summierenden Teil kommt

n

nicht vor (außer in der inneren Summe wieder als Laufindex, also eigentlich gar nicht).
Zu allem Überfluss trägt das

U

links vom Gleichheitszeichen auch noch den Index

n

.

Vermutlich meinst Du etwas ganz anderes als das Aufgeschriebene?!

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09:43 Uhr, 01.08.2014

Also im großen und ganzen stimmt die Formel.

Es geht um die Spannung an einem MOSFET. Mit der inneren Summe sind die jeweils vorhergehenden Ergebnisse der äußeren Summe gemeint.
Vielleicht ist es so korrekter?:

U_{k} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(\frac{C_{1} * (U_{m a x} - (\sum_{k = 1}^{n - 1} U_{k})}{t} - I) * t}{C_{2}} * e x p (\frac{t}{τ})

Wobei n gegen

\infty

gehen sollte

Grüße

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10:12 Uhr, 01.08.2014

Nein, das ist vielleicht schon etwas besser, aber immer noch (rein formal) sinnlos!

Der Laufindex einer Summe "lebt" nur innerhalb der Summe, nie außerhalb!
Ein einfaches Beispiel:

\sum_{k = 1}^{n} k

n \cdot \sum_{k = 1}^{n} k

s_{n} = \sum_{k = 1}^{n} k

sind alles sinnvolle Ausdrücke bzw. Formeln,
während

k \cdot \sum_{k = 1}^{n} k

s_{k} = \sum_{k = 1}^{n} k

keinen Sinn machen.

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12:37 Uhr, 01.08.2014

Stimmt, so sollte es jetzt aber passen hoffe ich:

U_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(\frac{C_{1} * (U_{m a x} - (\sum_{k = 1}^{n - 1} U_{k})}{t} - I) * t}{C_{2}} * e x p (\frac{t}{τ})

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12:59 Uhr, 01.08.2014

Die Laufvariable der inneren Summe solltest Du zur besseren Unterscheidung anders nennen,

z . B

\sum_{i = 1}^{n - 1} U_{i}

Jetzt sieht man deutlich, dass in der äußeren Summe

\sum_{k = 0}^{n} . .

. das

k

gar nicht vorkommt; alle Summanden sind also gleich!
Willst Du das wirklich so?

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16:03 Uhr, 01.08.2014

Jetzt aber:

U_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(\frac{C_{1} * (U_{m a x} - (\sum_{i = 1}^{n - 1} U_{i})}{t} - I) * t}{C_{2}} * e x p (\frac{t}{τ})

Erst mal danke für die formale Hilfe bisher.

Ja, die Formel passt so. (Ist ne Ladungspumpe)
Dadurch

Habe das ganze auch in Excel gerechnet und da kann man ja quasi "unednlich" viele Schritte rechnen, aber ab um die n=500 ändert es sich auch bei en paar tausend mehr Schritten nicht mehr stark.

Ich würde die Formel aber trotzdem gerne in einem Integral haben, weil man es dann einfach besser ausrechen kann(ob von Hand oder mit wolfram, maxima,...)

Und nebenbei intersiert mich das ganze auch unabhängig von diesem Beispiel.

Wurde mich freuen wenn ich erleuchet werden könnte!

Grüße

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16:13 Uhr, 01.08.2014

Es tut mir leid, ich versteh's nicht!

In der äußeren Summe ist jeder Summand gleich, weil gar kein

k

vorkommt.
Das kann doch unmöglich konvergieren!

Vielleicht versteht Dich ja irgendein anderer Helfer hier?!

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08:13 Uhr, 04.08.2014

Die äußere Summe wird immer kleiner, da die innere Summe immer größer wird.
Somit ist der Zähler irgendwann sehr klein.
Die innere Summe nähert sich

U_{m a x}

an, erreicht dies aber nie.

anonymous

19:23 Uhr, 04.08.2014

Das Problem ist nur, dass wir nicht verstehen, was mit der äußeren Summe bezweckt wird.
Da die Summanden nämlich nicht vom Summationsindex

k

abhängen, man also

(n + 1)

-mal den gleichen Summanden hat, gilt:

U_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(\frac{C_{1} \cdot (U_{m a x} - (\sum_{i = 1}^{n - 1} U_{i}))}{t} - I) \cdot t}{C_{2}} \cdot e x p (\frac{t}{τ})

U_{n} = (n + 1) \cdot \frac{(\frac{C_{1} \cdot (U_{m a x} - (\sum_{i = 1}^{n - 1} U_{i}))}{t} - I) \cdot t}{C_{2}} \cdot e x p (\frac{t}{τ})

Es kommt uns halt einfach komisch vor. Deshalb auch die Nachfragen.

Und warum denkst du, da wird irgendetwas einfacher zu berechnen, wenn man es als Integral umschreibt?

mathefragenhabich aktiv_icon

15:56 Uhr, 05.08.2014

Jetzt verstehe ich es :-)

Ich denke diese Version müsste das Problem lösen (ich glaube, ich habe mal wieder nicht aufgechrieben, was in meinem Kopf war)

U_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{(\frac{C_{1} * (U_{m a x} - (\sum_{i = 0}^{k} U_{i - 1})}{t} - I) * t}{C_{2}} * e x p (\frac{t}{τ})

(Der erste Summand der inneren Summe wäre allerding

U_{- 1}

was naturlich sind sein dürfte)

Weil ich diese Summe nicht in ein Mathematik Programm bekomme, sondern es nur mit Excel Schritt für Schritt rechen kann. (Falls man die Formel doch irgendwie für wolfram alpha etc. verständlich machen kann, wäre es natürlich nicht so wichtig)

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