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Supremum, Infimum, Maximum und Minimum

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Supremum

jonas03 aktiv_icon

20:25 Uhr, 11.11.2022

x

und

y

sind elemente der reelen Zahlen.

{(x + 1)}^{2} + 5 y^{2} < 4

Nun möchte ich das Supremum, Infimum, Maximum und Minimum bestimmen. Habe leider keine Ahnung wie das bei Ungleichungen mit zwei verschiedenen Variablen geht. Wäre für Hilfe dankbar.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)

Sukomaki aktiv_icon

21:08 Uhr, 11.11.2022

Die Ungleichung beschreibt das Innere einer verschobenen Ellipse.

Wenn das Infimum zur betrachteten Menge gehört, ist es gleichzeitig das Minimum.

Wenn das Supremum zur betrachteten Menge gehört, ist es gleichzeitig das Maximum.

Das Minimum liegt im Zentrum der Ellipse. Durch welches Zahlenpaar ist dieses gegeben?

Das Supremum ist nun der Rand der gefüllten Ellipse. Dieses gehört selbst aber nicht zur betrachteten Menge.

Durch welche Zahlenpaare ist dieses gegeben?

Gibt es ein Maximum?

Sukomaki

Kartoffelchipsman aktiv_icon

21:13 Uhr, 11.11.2022

Vielleicht ist die Lösungsmenge der Ungleichung nützlich.

{(x + 1)}^{2} + 5 \cdot y^{2} < 4

\Leftrightarrow | y | < \sqrt{\frac{- x^{2} - 2 \cdot x + 3}{5}} = \sqrt{- \frac{(x + 3) \cdot (x - 1)}{5}}

.

Aus

- x^{2} - 2 \cdot x + 3 > 0

folgt

- 3 < x < 1

und die Lösungsmenge der Ungleichung ist also die Tupelmenge

{(x, y) \in R^{2} : - 3 < x < 1, | y | < \sqrt{\frac{- x^{2} - 2 \cdot x + 3}{5}}}

.

Zudem gilt

- \frac{2}{\sqrt{5}} \leq - \sqrt{\frac{- x^{2} - 2 \cdot x + 3}{5}} < y < \sqrt{\frac{- x^{2} - 2 \cdot x + 3}{5}} \leq \frac{2}{\sqrt{5}}

(wegen Scheitelpunkt von

- x^{2} - 2 \cdot x + 3

bei

x = - 1)

Sukomaki aktiv_icon

23:39 Uhr, 11.11.2022

Hallo Jonas,

Du hast die Aufgabenstellung etwas unpräzise formuliert.

Ich vermute, dass die zu betrachtende Menge gemeint ist als

M = {x \in ℝ ∣ \exists y \in ℝ : (x + 1)^{2} + 5 y^{2} < 4}

.

Das so definierte

M

erlaubt einen eindimensionalen Zugang - wie Du ihn kennst - für Infimum und Supremum.

Gesucht sind also die

x

-Koordinaten der Punkte auf der

x

-Achse, die gerade noch in der Ellipse liegen. Kannst Du diese benennen?

Stichwort : "Hauptscheitel"

Wäre die Menge

M

definiert als

{y \in ℝ ∣ \exists x \in ℝ : (x + 1)^{2} + 5 y^{2} < 4}

, dann wären die

y

-Koordinaten der Punkte auf der

x = - 1

-Achse, die gerade noch in der Ellipse liegen zu bestimmen.

Das ist ein Unterschied.

Von daher machte Deine Definition von

M

in Bezug auf Infimum/Supremum für mich nicht wirklich Sinn und ich habe mit unrichtigen Ausführungen aufgewartet. Sorry dafür.

Ich muss dabei gestehen, dass ich auch zum ersten Mal mit dieser Art von Infimum/Supremum - Definition konfrontiert bin.

Sukomaki

jonas03 aktiv_icon

14:53 Uhr, 12.11.2022

Vielen Dank erstmal für die Hilfe.
Leider bin ich nicht wirklich draus schlau geworden, weil ich weiß einfach nicht wie ich vorgehen soll. Soll ich erstmal mir den Graphen zeichnen lassen? Weil der ergibt bei mir keine Ellipse und dann weiß ich auch nicht was hierbei

< 4

bedeuten soll. Soll das etwa heißen, dass die y-Werte unter 4 sein müssen? Und was ist dann jetzt das Supremum, Infimum, Maximum und Minimum? Und ja, deine Aufgabenstellung ist die Richtige, habe mich ausversehen geirrt.

Ich weiß ja wie man das Infimum bestimmt, nämlich mit dem Limes, aber da dies eine Ungleichung ist, weiß ich nicht wie das geht.

jonas03 aktiv_icon

14:56 Uhr, 12.11.2022

Vielen Dank erstmal ,leider blicke ich auch hier immer noch nicht durch. Hatte bisher nur Aufgaben mit Gleichungen und konnte diese problemlos lösen, nun weiß ich hier aber immer noch nicht, was das konkrete Supremum, Infimum, Maximum und Minimum ist. Ich nehme an

- 1

ist eines davon, was es konkret ist, weiß ich leider nicht. Hoffe, dass du nochmals helfen kannst.

Sukomaki aktiv_icon

16:59 Uhr, 12.11.2022

Geometrisch veranschaulicht stellt

(x + 1)^{2} + 5 y^{2} = 4

eine Ellipse dar.

(Wie sieht der Graph denn bei Dir aus?)

Alle anderen Ellipsen

((x + 1)^{2} + 5 y^{2} = 3,

(x + 1)^{2} + 5 y^{2} = 2,

(x + 1)^{2} + 5 y^{2} = 1, \dots

)

die innerhalb der großen Ellipse liegen, bilden zusammen die gefüllte Ellipse.

Wenn Du den Rand der gefüllten Ellipse weglässt, erhältst Du eben

(x + 1)^{2} + 5 y^{2} < 4

"<4" bedeutet nicht, dass die

y

-Werte kleiner vier sein müssen, sondern

dass der Punkt

(x, y)

in der großen Ellipse liegt.

Wenn Du die gefüllte Ellipse nimmst und die

x

-Werte betrachtest, fällt auf, dass für manche

x

-Werte ein

y

-Balken existiert (z.B. für

x = - 1

das Intervall

y \in (- \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}})

)

Für andere

x

gibt es keinen solchen

y

-Balken. Warum?

Die Ungleichung

(x + 1)^{2} + 5 y^{2} < 4

lautet nach

y

aufgelöst (z.B. mit der

p, q

-Formel)

∣ y ∣ < \frac{1}{\sqrt{5}} \sqrt{- x^{2} - 2 x + 3}

Die Diskriminante ist - in Produkt-Schreibweise -

D = - (x + 3) \cdot (x - 1)

Wenn

x < - 3

ist D negativ * negativ * negativ = negativ

Wenn

- 3 < x < 1

ist D negativ * positiv * negativ = positiv

Wenn

x > 1

ist D negativ * positiv * positiv = negativ

Daher ist

M

eben das Intervall

(- 3, 1)

Für

x \notin M

ist der Ausdruck unter der Wurzel negativ, weswegen es keinen reellen Wert gibt, den

y

annehmen könnte.

Für

x = - 3

oder

x = 1

haben wir

∣ y ∣ < 0

, was es nicht gibt.

Daraus folgt :

Das Infimum ist gleich

- 3

, weil es keine größere untere Schranke gibt.

Es gehört selbst nicht zur Menge

M

, weswegen es kein Minimum gibt.

Das Supremum ist gleich

1

, weil es keine kleinere obere Schranke gibt.

Es gehört selbst nicht zur Menge

M

, weswegen es kein Maximum gibt.

Sukomaki

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