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Symmetrie von Polynomfunktionen- gerade / ungerade

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: polynom

janfromm aktiv_icon

14:06 Uhr, 20.01.2025

Hallo zusammen,

- Gerade Polynome sind achsensymmetrisch zur Y-Achse
- Ungerade Polynome sind punktsymmetrisch zum Ursprung
- Polynome, die sowohl gerade als auch ungerade Exponenten enthalten, sind weder achsensymmetrisch zur y-Achse, noch punktsymmetrisch zum Ursprung

Trotzdem waren alle Polynome, die ich bislang betrachtet habe, entweder punktsymmetrisch zu irgendeinem Punkt oder achsensymmetrisch zu irgendeiner Gerade.

Frage(n):

- Sind alle Polynome achsen- oder punktsymmetrisch?
- Gibt es da eine Regel?
- Kann das vielleicht jemand beweisen oder ein Gegenbeispiel anführen?

VG

Jan

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Symmetrie (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

KL700 aktiv_icon

14:23 Uhr, 20.01.2025

Polynome mit nur geraden Exponenten sind achsensymmetrisch.
Polynome mit nur ungeraden Exponenten sind punktsymmetrisch.
Polynome mit gemischten Exponenten (sowohl gerade als auch ungerade Terme) sind weder achsen- noch punktsymmetrisch.

Es gibt keine allgemeine Regel, dass alle Polynome diese Symmetrien aufweisen. Ein Polynom kann auch keine Symmetrie haben, wenn es sowohl gerade als auch ungerade Terme enthält.

Beispiel für keine Symmetrie:

f (x) = x^{3} + x^{2} + 3^{x} + 1

HAL9000

14:30 Uhr, 20.01.2025

> Sind alle Polynome achsen- oder punktsymmetrisch?

Nein.

Richtig ist aber:

1) Alle Polynome ersten Grades sind punktsymmetrisch zu einem beliebigen Punkt der Gerade.

2) Alle Polynome zweiten Grades sind achsensymmetrisch zur vertikalen Gerade durch den Scheitelpunkt der Parabel.

3) Alle Polynome dritten Grades sind punktsymmetrisch zum Wendepunkt der kubischen Parabel.

4) Ab Polynomgrad 4 lassen sich leicht Polynome finden, die weder punkt- noch achsensymmetrisch sind.

Beispiel:

f (x) = x^{4} + x

janfromm aktiv_icon

18:45 Uhr, 20.01.2025

Hallo,
vielen Dank für eure Antworten!

Tatsächlich habe ich nur Polynome vom Grad 1 bis 3 überprüft, daher waren die Graphen immer symmetrisch.

@HAL9000 - Dein Beispiel hat mir sehr geholfen.

@KL700 Auch dir vielen Dank für deine Antwort!
In deinem Beispiel kommt

3^{x}

vor, weshalb es sich meines Wissens nach nicht um ein Polynom handelt.

Frage beantwortet.

LG
Jan

mathadvisor aktiv_icon

18:55 Uhr, 20.01.2025

KL700 sagte
"Polynome mit gemischten Exponenten (sowohl gerade als auch ungerade Terme) sind weder achsen- noch punktsymmetrisch."

Das ist nicht richtig. Korrekt steht es in der Antwort von HAL9000.
Naja, ganz korrekt wäre: "Der Graph eines Polynoms mit... ist ...".
Zur Symmetrie gehört stets die Angabe wozu symmetrisch (wie janfromm und HAL9000 es auch gemacht haben).

HAL9000

10:08 Uhr, 21.01.2025

Frage: Wie kann man rein anhand der Polynomdarstellung

f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}

mit

a_{n} \neq 0

prüfen, ob solche Symmetrien vorliegen?

Antwort: Sei

x_{s} = - \frac{a_{n - 1}}{n a_{n}}

sowie

y_{s} = f (x_{s})

.

a)

n

gerade. Dann kann allenfalls Achsensymmetrie zur Achse

x = x_{s}

vorliegen. Analytisch kann man das checken, indem man

f (x_{s} + t)

ausrechnet, und dieses Polynom in

t

darf nur Potenzanteile mit geraden

t

-Exponenten aufweisen. Wie oben erwähnt ist das bei

n = 2

stets der Fall.

b)

n

ungerade. Dann kann allenfalls Punktsymmetrie zum Punkt

(x_{s}, y_{s})

mit

x_{s} = - \frac{a_{n - 1}}{n a_{n}}

sowie

y_{s} = f (x_{s})

vorliegen. Analytisch kann man das checken, indem man

f (x_{s} + t)

ausrechnet, und dieses Polynom in

t

darf außer Potenzanteilen mit ungeraden

t

-Exponenten allenfalls noch einen Konstantanteil aufweisen. Wie oben erwähnt ist das bei

n = 1

sowie

n = 3

stets der Fall.

Beispiel:

f (x) = x^{5} + 10 x^{4} + 37 x^{3} + 62 x^{2} + 48 x

Ungerader Polynomgrad, also besteht allenfalls Punktsymmetrie zu

(x_{s}, y_{s})

mit

x_{s} = - \frac{10}{5} = - 2

und

y_{s} = f (- 2) = - 16

. Wir rechnen aus

f (- 2 + t) = t^{5} - 10 t^{4} + 40 t^{3} - 80 t^{2} + 80 t - 32 + 10 (t^{4} - 8 t^{3} + 24 t^{2} - 32 t + 16) + 37 (t^{3} - 6 t^{2} + 12 t - 8) + 62 (t^{2} - 4 t + 4) + 48 (t - 2)

= t^{5} - 3 t^{3} + 4 t - 16

und stellen fest: Abgesehen von dem Konstantglied -16 tauchen nur Potenzen mit ungeraden Exponenten auf, d.h.,

f (x)

ist tatsächlich punktsymmetrisch bzgl. Punkt

(- 2, - 16)

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