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Tangente der Umkehrfunktion bestimmen

Universität / Fachhochschule

Sonstiges

Tags: Differantialrechnung

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12:24 Uhr, 11.12.2015

Hallo,

könnte mir jemand die Aufgabe rechnen bitte?

Bestimmen Sie die Tangente der Umkehrfunktion der Funktion

f (x) = ln ((\frac{1}{x^{2}}))

durch den Punkt

(e, - 2)

Mein Lösungsansatz war:

f' (x)

auszurechnen aber da komm ich auch schon nicht drauf.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

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12:27 Uhr, 11.12.2015

Verwende die Kettenregel.

Respon

12:27 Uhr, 11.12.2015

Kettenregel

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12:30 Uhr, 11.12.2015

f' (x) = \frac{1}{\frac{1}{x^{2}}} \cdot 2 x \cdot 2 x

Ist das so richtig?

Respon

12:31 Uhr, 11.12.2015

Die "innere" Ableitung stimmt nicht.
Was ist die Ableitung von

\frac{1}{x^{2}}

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12:33 Uhr, 11.12.2015

\frac{1}{x^{2}} = x^{- 2}

f

= - 2 x

Respon

12:34 Uhr, 11.12.2015

Nein

[x^{n}]' = n \cdot x^{n - 1}

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12:35 Uhr, 11.12.2015

Ach so.

Dann

- 2 x^{- 3}

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12:36 Uhr, 11.12.2015

Es wäre einfacher, wenn Du zuerst

\ln (\frac{1}{x^{2}}) = - \ln (x^{2})

schreiben würdest.

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12:36 Uhr, 11.12.2015

Gelöscht.

danfi aktiv_icon

12:38 Uhr, 11.12.2015

f (x) = ln ((\frac{1}{x^{2}}))

f' (x) = - \frac{1}{x} \cdot 2 x

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12:40 Uhr, 11.12.2015

Richtig ist

f^{'} (x) = - \frac{2}{x}

danfi aktiv_icon

12:45 Uhr, 11.12.2015

und wie setze ich jetzt die Punkte ein?

die Umkehrabbildung wäre ja jetzt

f' (y) = \frac{1}{- \frac{2}{x}} \cdot f (y)

oder?

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12:49 Uhr, 11.12.2015

x = e

.
Aber die Tangente der Umkehrfunktion hat als Steigung

\frac{1}{f^{'} (x)}

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12:50 Uhr, 11.12.2015

"die Umkehrabbildung wäre ja jetzt"

Nein, das ist Quatsch. Keine Ahnung, woher Du das hast.

danfi aktiv_icon

12:54 Uhr, 11.12.2015

Also ich habe keine Ahnung wie ich weiter rechnen soll.

ich hab jetzt die erste Ableitung.
Dann benötige ich die Umkehrabbildung.

x = f^{- 1} (y)

Und dann muss ich iwie die Punkte mit reinbringen...

DerDepp aktiv_icon

12:56 Uhr, 11.12.2015

Hossa :-)

Vielleicht ist das ja eine doofe Idee, aber wie wäre es, wenn man erstmal die Umkehrfunktion bildet

[y = e^{- x / 2}]

und dann die Tangente im Punkt (-2;e) berechnet

[t (x) = \frac{e}{2} x]

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12:57 Uhr, 11.12.2015

Wenn Du keine Ahnung hast, lerne die Theorie!

Die Tangente der Umkehrfunktion von

f

im Punkt

(x, y)

hat als Steigung

\frac{1}{f^{'} (x)}

. Was ist hier nicht klar?

f^{'} (x)

hast Du schon. Was

x

ist, habe ich auch schon gesagt. Also? Schafst Du, die Gleichung der Tangente durch den Punkt

(x, y)

mit der Steigung

\frac{1}{f^{'} (x)}

aufzustellen?

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12:58 Uhr, 11.12.2015

"Vielleicht ist das ja eine doofe Idee, aber wie wäre es, wenn man erstmal die Umkehrfunktion"

Die Idee ist nicht doof, aber in dieser Aufgabe wird eindeutig verlangt, die Tangente zu berechnen, ohne

f^{- 1}

selber berechnen zu müssen.

danfi aktiv_icon

13:01 Uhr, 11.12.2015

Dann hab ichs jetzt:

g (x) = ln (\frac{1}{e^{2}}) - \frac{2}{e} \cdot (e + 2)

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13:05 Uhr, 11.12.2015

Und wie kommst Du auf diese Formel?

danfi aktiv_icon

13:08 Uhr, 11.12.2015

das ist die Tangentengleichung.
Aus meiner Formelsammlung.

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13:10 Uhr, 11.12.2015

Das ist überhaupt keine Gleichung, denn Du hast links

x

und rechts kein

x

.
Also korriegiere. Übrigens, achte auf die Steigung. Die ist auch nicht richtig bei Dir.

danfi aktiv_icon

13:19 Uhr, 11.12.2015

Ich komm hier nicht weiter.

Ich kann eine Tangentengleichung durch xo bestimmen.
Da nehme ich die erste Ableitung
und setzte dann in die Tangentengleichung

(g (x) =

f(x0)+f'(xo)*(x-xo)

aber was ich mit den zwei Punkten machen muss weiss ich nicht.

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13:22 Uhr, 11.12.2015

Mit welchen zwei Punkten? :-O

Die Gleichung der Tangente durch den Punkt

(x_{0}, y_{0})

mit der Steigung

g^{'} (x_{0})

ist durch

g (x) = g^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + y_{0}

gegeben. Super. Du hast den Punkt

(e, - 2)

und die Steigung

= - \frac{e}{2}

(warum?)
Was ist die Gleichung?

danfi aktiv_icon

13:38 Uhr, 11.12.2015

g (x) = - \frac{e}{2} \cdot

(xo)

+

(e-xo)

- 2

so jetzt stimmts oder?

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14:12 Uhr, 11.12.2015

Richtig ist

x = - \frac{e}{2} (y + 2) + e

oder

y = - \frac{2}{e} (x - e) - 2

- das sind zwei äquivalente Formen.

Da die Tangente für die Umkehrfunktion bestimmt werden muss, müssen wir statt

g (x) = g^{'} (x_{0}) (x - x_{0}) + g (x_{0})

die Formel

x = g (y) = g^{'} (y_{0}) (y - y_{0}) + g (y_{0})

nutzen, mit

g (y) = f^{- 1} (y)

. Dann

g^{'} (y) = \frac{1}{f^{'} (f^{- 1} (y)} = \frac{1}{- \frac{2}{f^{- 1} (y)}} = - \frac{f^{- 1} (y)}{2}

und für konkrete Werte

x_{0} = e, y_{0} = - 2

haben wir

g^{'} (- 2) = - \frac{f^{- 1} (- 2)}{2} = - \frac{e}{2}

g (- 2) = e

und damit die Gleichung

x = g (y) = - \frac{e}{2} (y + 2) + e

danfi aktiv_icon

14:19 Uhr, 11.12.2015

Oh mann - Danke euch!

danfi aktiv_icon

14:20 Uhr, 11.12.2015

Oh mann - Danke euch!

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