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Tangente durch Punkt A (1/0)

Schüler Gymnasium,

Tags: Analysis, Funktion 2. Grades, Tangentengleichung

mathefg aktiv_icon

18:28 Uhr, 15.10.2011

Hallo ihr Lieben :-)

Ich weiß, dass es diesen Thread bereits gibt,jedoch kenne ich mich nicht so gut aus, da ich erst heute eingetreten bin.

Hier die Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion

f

mit

f (x) = 0.5 x^{2}

. Bestimmen Sie die Punkte des Graphen, dessen Tangenten durch den Punkt

A (\frac{1}{0})

verlaufen.

Den Rechnungsweg kenne ich eigentlich, aber meine Frage ist:

Soll man die allgemeine Tangentengleichung mit dem gegebenen Punkt

A (\frac{1}{0})

bestimmen ? wäre

x 0

dann 1 ?
Wenn ich das wüsste, könnte ich endlich den Rest der Aufgabe lösen.

Danke schonmal im Voraus! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Tangente (Mathematischer Grundbegriff)
Sekante (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Tangente / Steigung

Atlantik aktiv_icon

18:44 Uhr, 15.10.2011

Hallo,

du hast eine Punkt

P (1 | 0)

die Tangente soll durch

P

laufen:

y = m \cdot x + b

0 = m \cdot 1 + b

b = - m

dies in

y = m \cdot x + b

einsetzen:

y = m \cdot x - m

und mit Parabel schneiden. Dann die

Diskriminante

= 0

setzen.

Alles Gute

Atlantik

dapso aktiv_icon

18:50 Uhr, 15.10.2011

Hallo. Die allgemeine Tangentengleichung musst du ohne den Punkt A finden, da sie sonst ja nicht mehr allgemein wäre (zur Kontrolle: Die allgemeine Tangentengleichung an einen Graphen

f (x)

ist

t (x) = f (x_{0}) + f ʹ (x_{0}) (x - x_{0})

x_{0}

ist hierbei die Stelle an der die Tangente den Graphen berührt). Wenn du das gemacht hast, weißt du das diese Tangente/Tangenten durch den Punkt A verlaufen sollen. Wenn du diesen Punkt also in

t (x)

einsetzt muss eine wahre Aussage rauskommen. Allerdings weißt du im Moment ja noch nicht dein/deine

x_{0}

. Die kannst du aber mithilfe von A ausrechnen. 1 ist also

\underline{n i c h t}

x_{0}

mathefg aktiv_icon

19:02 Uhr, 15.10.2011

Vielen Danke an euch für die schnelle Antwort.

Leider konnte ich Atlantik's Erklärung nicht ganz folgen, weil wir das in der Form nocht nicht gemacht haben.

@ dapso:

könntest du mir vielleicht auf die Sprünge helfen WIE ich

x 0

rauskriege ?
Daran hängt es seit Stunden, weil mir die Aufstellung einer Tangentengleichung bisher eigentlich einfach fiel.

dapso aktiv_icon

19:07 Uhr, 15.10.2011

t (x) = f (x_{0}) + f ʹ (x_{0}) (x - x_{0}) = 0.5 x_{0}^{2} + x_{0} (x - x_{0})

. Das ist ja die allgemeine Tangentgleichung für deine Funktion. Denke mal das hattest du bereits. Der Punkt

(1 / 0)

soll auf der Geraden liegen, d.h es soll folgendes gelten:

t (1) = 0 = 0.5 x_{0}^{2} + x_{0} (1 - x_{0})

x_{0}

ist zwar noch unbekannt, allerdings ist das eine Gleichung mit einer Unbekannten. Man kann also

x_{0}

ausrechnen.

mathefg aktiv_icon

19:18 Uhr, 15.10.2011

supii na endlich ! vielen vielen dank. eigentlich ganz einfach, ich weiß nicht warum ich nicht selbst darauf gekommen bin. ich versuche die aufgabe nochmal und schicke meinen Lösungsweg morgen. hoffe du kannst dann wieder helfen, falls etwas schief gegangen ist. :-)

nochmal: vielen dank! schönen rest-tag noch!

Atlantik aktiv_icon

20:37 Uhr, 15.10.2011

Hallo,

ich rechne mal vor:

y = m \cdot x - m

schneiden mit

y = \frac{1}{2} x^{2}

\frac{1}{2} x^{2} = m \cdot x - m | - m \cdot x

\frac{1}{2} x^{2} - m \cdot x = - m | \cdot 2

x^{2} - 2 \cdot m \cdot x = - 2 \cdot m

Nun auf beiden Seiten die quadratische Ergänzung

{(\frac{- 2 \cdot m}{2})}^{2} = m^{2}

addieren:

x^{2} - 2 \cdot m \cdot x + m^{2} = - 2 \cdot m + m^{2}

Jetzt 2.Binom anwenden:

{(x - m)}^{2} = m^{2} - 2 \cdot m | \sqrt{}

x - m = \pm \sqrt{m^{2} - 2 \cdot m}

Jetzt Diskriminante

= 0

setzen:

m^{2} - 2 \cdot m = 0

m \cdot (m - 2) = 0

m_{1} = 0

m - 2 = 0

m_{2} = 2

Tangentenbestimmung

1.Tangente ist die x-Achse

2.Tangente

\frac{y - 0}{x - 1} = 2

y = 2 \cdot x - 2

Jetzt kannst du die Schnittpunkte mit der Parabel bestimmen
Alles Gute

Atlantik

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Atlantik aktiv_icon

21:39 Uhr, 15.10.2011

Hallo,

ich habe noch einen Weg gefunden.

y = \frac{1}{2} \cdot x^{2}

y

´=

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot x = x

Punktsteigungsform:

P(1|0)und

m = x

\frac{y - 0}{x - 1} = x

y = x^{2} - x

Diese Parabel nun schneiden mit

y = \frac{1}{2} x^{2}

ergibt die beiden Berührpunkte der Tangenten .

x^{2} - x = \frac{1}{2} x^{2} | - \frac{1}{2} x^{2}

\frac{1}{2} \cdot x^{2} - x = 0

x \cdot (\frac{1}{2} x - 1)

x_{1} = 0

und

y_{1} = 0

\frac{1}{2} \cdot x - 1 = 0

x_{2} = 2

und

y_{2} = \frac{1}{2} \cdot {(2)}^{2} = 2

Mit dieser Möglichkeit hat man aber keine Tangentengleichungen. Man könnte die aber schnell finden.

Alles Gute

Atlantik

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mathefg aktiv_icon

17:29 Uhr, 16.10.2011

Dankeschön Atlantik :-)

Da ich davon ausgehe,dass wir diese Aufgabe in der Schule mit

t : y = f' (x 0) (x - x 0) + f (x 0)

rechnen, habe ich mich mal damit rumgeschlagen und bin auf diesen Lösungsweg gekommen:

0 = x 0 (1 - x 0) + \frac{1}{2} x 0^{2}

0 = x 0 - \frac{1}{2} x 0^{2}

0 = x 0 (1 - \frac{1}{2} x 0) \to x 0 (1) = 0

1 - \frac{1}{2} x 0 = 0

x 0 (2) = 2

jetzt in

f (x)

und

f' (x)

eingesetzt, erhalte ich die Punkte

P 1 (\frac{0}{0})

und

P 2 (\frac{2}{2})

meine Tangente lautet am Ende:

t : y = 2 x - 2

alles richtig ?

dapso aktiv_icon

17:35 Uhr, 16.10.2011

Jup, die Puntke stimmen. Beachte vllt noch, dass du insgesamt zwei Tangenten hast:

t_{1} (x) = 2 x - 2

und

t_{2} (x) = 0

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