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Tangentialraum und Normalraum

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17:06 Uhr, 15.11.2020

Guten Tag,

für folgende Menge gilt es den Tangential- und Normalraum zu finden:

M = {((v_{2}^{2} + 1) c o s (v 1), (v_{2}^{2} + 1) s i n (v 1), v 2) \in R^{3} : (v 1, v 2) \in R^{2}}

Der Normalraum im Punkt p (NpM) ist ja per Definition= span(grad(f1),...,grad(fn)).
Wäre das denn in diesem Fall (für p=

p_{1}, p_{2})

: NpM=

s p a n [(- (p_{2}^{2} + 1) s i n (p_{1}), 2 p_{2} c o s (p_{1})), ((p_{2}^{2} + 1) c o s (p_{1}), 2 p_{2} s i n (p_{1})), (0, 1)]

. Oder schreibt man das als Jacobimatrix an?

Und wie würde man dann den Tangentialraum rechnen?

MfG,
Noah

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

DrBoogie aktiv_icon

17:31 Uhr, 15.11.2020

"Der Normalraum im Punkt p (NpM) ist ja per Definition"

Wo hast du diese Definition her? :-O
Normalraum ist eindimensional in deinem Fall, das passt doch überhaupt nicht mit deinen Berechnugnen zusammen.

Richtige Definition ist z.B. hier:
de.wikipedia.org/wiki/Normalenvektor
im Abschnitt "Flächen im dreidimensionalen Raum".
Und zwar musst du das Kreuzprodukt aus partiellen Ableitungen

\frac{\partial F}{\partial v_{1}}

und

\frac{\partial F}{\partial v_{2}}

berechnen, für

F : (v_{1}, v_{2}) \to ((v_{2}^{2} + 1) \cos (v_{1}), (v_{2}^{2} + 1) \sin (v_{1}), v_{2})

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17:51 Uhr, 15.11.2020

Wäre dann

F_{v_{1}} (v_{1}, v_{2}) = (- (v_{2}^{2} + 1) s i n (v_{1}), (v_{2}^{2} + 1) c o s (v_{1}), 0)

und

F_{v_{2}} (v_{1}, v_{2}) = (2 v_{2} c o s (v_{1}), 2 v_{2} s i n (v_{1}), 1)

?

Und davon das Kreuzprodukt ausgewertet im Punkt p. Richtig?
Und wie würde man das machen für den Tangentialraum?

DrBoogie aktiv_icon

17:56 Uhr, 15.11.2020

"Und davon das Kreuzprodukt ausgewertet im Punkt p. Richtig?"

Jawohl.

"Und wie würde man das machen für den Tangentialraum?"

Die partiellen Ableitungen sind schon eine Basis des Tangentialraums

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18:08 Uhr, 15.11.2020

Aber das hiesse ja dann, dass der Normalraum eine Zahl ist. Wie ist das denn zu erklären?

DrBoogie aktiv_icon

18:12 Uhr, 15.11.2020

Kreuzprodukt ist ein Vektor und keine Zahl.

NFFN1 aktiv_icon

18:15 Uhr, 15.11.2020

Ach so stimmt ja. Habs mit dem inneren Produkt verwechselt.

Okay vielen Dank :-)

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