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Taylor Polynom - Fehler berechnen

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Tags: Funktion, Taylor

pl123 aktiv_icon

15:41 Uhr, 06.03.2017

Hallo zusammen,

ich versuche mich momentan daran mit Hilfe der Lagrangeschen Restgliedform den Fehler eines Taylor Polynoms zweiten Grades zu berechnen (entwickelt um Pi). Es geht dabei um die Funktion

f (x) = (s i n (x))^{2}

. Es ist zudem eine Stelle 3, 2 angegeben, an der der Fehler angegeben werden soll.
Die zugehörige Formel lautet ja:

R_{n + 1} (x) < \frac{M}{(n + 1)!} * (∣ x - a ∣)^{n + 1}

Bisher habe ich:

R_{2 + 1} (3) < \frac{M}{(2 + 1)!} * (∣ 3 - π ∣)^{2 + 1} = R_{3} (3) < \frac{M}{6} * (∣ 3 - π ∣)^{3}

M steht anscheinend für den maximal annehmbaren Wert für die n+1 te Ableitung von f (also in diesem Fall die dritte Ableitung), die wiederum -8 * cos x * sin x ist.

Mein Problem besteht nun vor allem im Zusammensetzen bzw. Ausrechnen der Formel. Wie finde ich, denn den Maximalbetrag der dritten Ableitung? Also wenn ich das zeichne, scheint mir 4 der höchste Wert im Intervall zu sein, aber kann ich das auch direkt ausrechnen?
Und woher weiß ich, ob ich in der Formel für x die Stelle 2 oder 3 einsetzen muss?

Ich hoffe hier kann mir einer etwas Licht ins Dunkel bringen und evtl. auch das Ergebnis aufzeigen…
Bitte seid etwas nachsichtig, das ist meine erste Aufgabe zu dem Thema :-D)

Besten Dank...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

ledum aktiv_icon

16:54 Uhr, 06.03.2017

Hallo1. für den Fehler musst du

\pm

Betrag rechnen.
offensichtlich hast du um

π

entwickelt also musst du nur den maximalen absoluten wert im Intervall

[3, π)

finden und der liegt bei x=3wenn du statt

sin (x) \cdot cos (x) = \frac{1}{2} \cdot sin (2 x)

schreibst ist das leichter zu sehen.
Allerdings, da du sin ja approximieren willst kennst du

sin (6)

ja nicht musst also einen bekannten Wert in der Nähe finden etwa bei

2 π - \frac{π}{4}

.
Gruß ledum

pl123 aktiv_icon

17:45 Uhr, 06.03.2017

Könntest Du nochmal genauer erklären wie man auf das Intervall kommt?
Welchen Wert müsste ich jetzt für M einsetzen? Das habe ich leider nicht ganz verstanden...

ledum aktiv_icon

18:07 Uhr, 06.03.2017

Hallo
das Intervall ist das zwischen dem Entwicklungspunkt und dem gesuchten, hier 3. darin das

max

der 3ten Ableitung.
im Prinzip ist das

8 \cdot sin (6)

aber da du ja sin eigentlich nicht ernst bis auf wenige Stellen

0, \frac{π}{6}, \frac{π}{3},

usw sollte man nicht

sin (6)

benutzen sondern

| sin (2 π - \frac{π}{6}) | = sin (\frac{π}{6}) = \frac{1}{2}

Gruß ledum

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