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Taylor Reihe bildungsgesetz 1/wurzelx

Universität / Fachhochschule

Tags: Bilgungsgesetz, Entwicklungspunkt, Taylorreihe, Wurzelfunktion

Schligedi aktiv_icon

13:40 Uhr, 07.07.2012

Hallo,

Also ich habe zur Entwicklung die ersten vier Ableitungen gebildet um den entwicklungspunkt 1:

f (x) = 1 - \frac{0,5}{1!} \cdot [x - 1] + \frac{\frac{3}{4}}{2!} \cdot {[x - 1]}^{2} - \frac{\frac{15}{8}}{3!} \cdot {[x - 1]}^{3} ...

.

Ich komme leider absolut nicht auf das bildungsgesetz, kann mir jmd helfen??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Wurzelfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

hagman aktiv_icon

14:36 Uhr, 07.07.2012

Die Ableitung von

x^{- \frac{1}{2}}

ist

(- \frac{1}{2}) x^{- \frac{3}{2}},

hiervon wiederum

(- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{3}{2}) \cdot x^{- \frac{5}{2}},

hiervon wiederum

(- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{3}{2}) \cdot (- \frac{5}{2}) x^{- \frac{7}{2}}

.
Zu beobachtendes Muster der Vorfaktoren der n-ten Ableitung:
Vorzeichen ist

{(- 1)}^{n}

Es gibt

n

Nenner zu je

2,

macht

2^{- n}

.
Im Zähler steht das Produkt der ersten

n

ungeraden Zahlen, das ist der einzige etwas knifflige Teil, denn es ist fast, aber nicht wirklich die Fakultät:
Wenn man beispielsweise das Produkt

1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7

der ersten vier ungeraden Zahlen um die ersten vier geraden Zahlen

2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8

ergänzt, erhält man

1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 = 8!

(bzw. im allgemeinen Fall

(2 n)!)

.
Das überzählige

2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8

kann man wiederum, da jeder Faktor ja gerade ist, zerlegen in

2^{4} \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4

bzw. allgemein in

2^{n} \cdot n!

.
Insgesamt ergibt sich also

f^{(n)} (x) = {(- 1)}^{n} \cdot 2^{- n} \cdot \frac{(2 n)!}{2^{n} \cdot n!} \cdot x^{- \frac{2 n + 1}{2}} = \frac{(2 n)!}{{(- 4)}^{n} n!} \cdot x^{- \frac{2 n + 1}{2}}

Schligedi aktiv_icon

10:07 Uhr, 08.07.2012

Danke hagman,

Dass hört sich ja schonmal ganz gut an, aber mir geht es um das bildungsgesetz, welches das Summenzeichen enthält, um damit dann den konvergenzbereich zu bilden. Das ganze müsste ca so aussehen:

\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} ... . \cdot {(x - 1)}^{n}

Für den mir unschlüssigen Mittelteil muss ich ein Gesetz finden, um bei

z . b

n = 3

auf

\frac{3}{8}

kommt und bei

n = 4

auf

\frac{5}{16}

. Bei

n = 3

wurde zb

\frac{n}{(n^{2} - 1)}

passen, was aber bei

n = 4

leider schon wieder versagt...

Vielen dankschonmal!

hagman aktiv_icon

10:54 Uhr, 08.07.2012

Ja, und was soll da noch fehlen?

f^{(0)} (1) = \frac{0!}{{(- 4)}^{0} 0!} = 1

f^{(1)} (1) = \frac{2!}{{(- 4)}^{1} 1!} = - \frac{1}{2}

f^{(2)} (1) = \frac{4!}{{(- 4)}^{2} 2!} = \frac{3}{4}

f^{(3)} (1) = \frac{6!}{{(- 4)}^{3} 3!} = - \frac{15}{8}

Und somit entsprechend dem laut Taylor auftretenden

\frac{f^{(n)} (x_{0})}{n!}

\frac{1}{0!} = 1, \frac{- \frac{1}{2}}{1!} = - \frac{1}{2}, \frac{\frac{3}{4}}{2!} = \frac{3}{8}, \frac{- \frac{15}{8}}{3!} = - \frac{5}{16}, . .

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