Wurzelfunktionen

Die Funktionsgleichung einer Wurzelfunktion hat folgende Form:



Dabei ist:

${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathbb{N} ,}$ der Wurzelexponent, eine natürliche Zahl.

${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in {ℝ}_0^{+} ,}$ der Radikand und die Variable der Funktion, eine positive reelle Zahl.


Wurzelfunktionen sind Spezialfälle von Potenzfunktionen [mehr dazu].
Die Funktionsgleichung kann (durch Anwendung der Potenzregeln [mehr dazu]) umgeformt werden in:





Beispiele für Wurzelfunktionen:

1) ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=2, \Rightarrow \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\sqrt[2]{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\sqrt{2} }$ die Quadratwurzel

2) ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=3, \Rightarrow \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\sqrt[3]{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}} }$ die Kubikwurzel

3) ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=5, \Rightarrow \mathrm{f<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=\sqrt[5]{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$



Wichtige Eigenschaften der Wurzelfunktion:



Definitionsbereich [mehr dazu]: ${\displaystyle \mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={ℝ}_0^{+}=[0;\infty [}$

Wertebereich: ${\displaystyle \mathrm{W<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={ℝ}_0^{+}=[0;\infty [}$

Nullstellen [mehr dazu]: ${\displaystyle }$ für ${\displaystyle \mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=0}$ ist die Wurzelfunktion gleich Null

Gemeinsamer Punkt: ${\displaystyle }$ Der Graph jeder Wurzelfunktion startet im Ursprung ${\displaystyle \left(0|0\right),}$ und geht durch den Punkt ${\displaystyle \left(1|1\right)}$

Monotonie: ${\displaystyle }$ streng monoton steigend

Die Wurzelfunktion ist die Umkehrfunktion der Potenzfunktion für positive Zahlen.