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Taylorreihe von x*e^x bilden?

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Tags: Folgen und Reihen, Funktion, Funktionenreihen

anonymous

21:25 Uhr, 19.10.2015

Hallo zusammen,

ich habe mich gerade zur Prüfungsvorbereitung an folgender Aufgabe zur Taylorreihenentwicklung versucht.
Geg. Funktion war

f (x) = x \cdot e^{x},

einen speziellen Entwicklungspunkt hatte ich nicht, da es sich nur um ein Prüfungsprotokoll handelte, aber ich denke dass es

a = 0

oder

a = 1

war.

Jedenfalls weiß ich, wie ich auf das Taylorpolynom komme, indem ich erst die Ableitungen bilde und dann die Formel anwende, also

T (x) = f (a) + \frac{f' (a)}{1!} \cdot (x - a) + \frac{f'' (a)}{2!} \cdot {(x - a)}^{2}

etc.

jetzt versteh ich aber nicht ganz, wie ich dabei dann auf die Taylorreihe komme, die allg. Form kenn ich mit

T (x) = \sum \frac{f^{n} (a)}{n}! \cdot {(x - a)}^{n}

wäre toll, wenn mir das hier jemand erklären kann

schonmal danke im vorraus :-D)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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21:33 Uhr, 19.10.2015

Wenn es um die Taylorreihe im

0

handelt, dann kannst Du einfach die schon bekannte Reihendarstellung für

e^{x}

nutzen, dann brauchst Du keine Ableitungen zu berechnen.
Konkret

e^{x} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!}

x e^{x} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x^{k + 1}}{k!}

.
Soll die Darstellung für

e^{x}

unbekannt sein, ist sie leicht herzuleiten.

anonymous

21:39 Uhr, 19.10.2015

ok danke, jetzt wo ichs so sehe machts auf jeden fall sinn.
wie ich

e^{x}

herleite weiß ich auf jeden fall, dann scheint es ja für

a = 0

recht einfach zu sein.

aber was wäre wenn ich jetzt nicht

a = 0

als Entwicklungspunkt habe sondern

a = 1

? da muss ich dann schon mit den ableitungen rechnen oder?

DrBoogie aktiv_icon

21:42 Uhr, 19.10.2015

Ne, Du kannst ein bisschen tricksen. ;-)

x e^{x} = (x - 1) e^{x} + e^{x} = (x - 1) e^{x - 1} \cdot e + e^{x - 1} \cdot e

und wieder geht's ohne Ableitungen.

anonymous

21:48 Uhr, 19.10.2015

okay das ist dann natürlich ein sehr eleganter weg :-D)

nur wäre ich da im leben nicht drauf gekommen, aber falls ich das mal brauche weiß ich ja jetzt bescheid.

aber generell ginge der ansatz mit den ableitungen oder?

DrBoogie aktiv_icon

21:51 Uhr, 19.10.2015

Ja, sicherlich.
Mit den Ableitungen ist es auch nicht sehr kompliziert,
denn

(x e^{x})^{(n)} = (x + n) e^{x}

- das kann man per Induktion zeigen.

anonymous

21:57 Uhr, 19.10.2015

ok vielen dank,

letzteres hatte ich im prinzip auch raus, war mir nur nicht so sicher was ich damit anfangen soll.

also danke :-D)

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