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Taylorreihen von verketteten Funktionen

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Tags: Folgen, Funktion, Funktionenreihen, Reihen

student11 aktiv_icon

22:15 Uhr, 05.03.2012

Hallo zusammen

Ich habe die Aufgabe, die Taylorreihe einer verketteten Funktion auf zwei Arten zu berechnen:

1) h (x) = f (g (x))

über die Taylorreihen von

f (x)

und

g (x)

jeweils an der Stelle

x_{0}

2)

direkt Ableitungen bestimmen und einsetzen..

Nun, diese zwei Methoden scheinen bei mir nicht dasselbe zu geben, deshalb vermute ich, dass ich mir die Variante

1)

etwas zu einfach gemacht habe..

ich dachte mir, ich könnte das Taylorpolynom für

f (x)

nehmen und immer für

x

einfach

g (x)

einsetzen.. Doch das klappt glaube ich nicht..

Wie muss mann denn da vorgehen??

Analog auch für:

h (x) = f (x) \cdot g (x) .

. Da stimmen zwar meine ersten paar Terme, doch der Grad von

f (x) \cdot g (x)

wird ja grösser als der Grad von

h (x)

wenn ich bis zum gleichen

n

approximiere.. Dann kann ich die restlichen Summanden einfach wieder wegstreichen? Dann würde es bei mir stimmen..

Konkret sind bei uns

f (x) = e^{x}

und

g (x) = cos (x)

sowie

x_{0} = 0

und

n = 3

gegeben..

Vielen Dank für eure Hilfe..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

pwmeyer aktiv_icon

09:36 Uhr, 06.03.2012

Hallo,

das Ziel ist ein Darstellung

h (x) = f (g (x)) = a_{0} + a_{1} \cdot (x - x_{0}) + a_{2} \cdot {(x - x_{0})}^{2} + ...

.

Du benutzt die einzelnen TaylorDarstellungen:

g (x) = b_{0} + b_{1} \cdot (x - x_{0}) + b_{2} \cdot {(x - x_{0})}^{2} + ...

f (y) = c_{0} + c_{1} \cdot (y - y_{0}) + c_{2} \cdot {(y - y_{0})}^{2} + ...

. mit

y_{0} = g (x_{0}) = b_{1}

Dann setzt Du ineinander ein:

y - y_{0} \to b_{1} \cdot (x - x_{0}) + b_{2} \cdot {(x - x_{0})}^{2} + . .

.
und sortierst nach den Potenzen von

(x - x_{0})

.

Gruß pwm

student11 aktiv_icon

21:32 Uhr, 07.03.2012

Tut mir leid, aber ich konnte das leider nicht ganz nachvollziehen.

Ich habe mir jetzt das genau so aufgeschrieben, also dass (da ich nur den dritten Grad brauche):

g (x) = b_{0} + b_{1} (x - x_{0}) + b_{2} {(x - x_{0})}^{2} + b_{3} {(x - x_{0})}^{3}

und analog

f (y) = c_{0} + c_{1} (y - y_{0}) + c_{2} {(y - y_{0})}^{2} + c_{3} {(y - y_{0})}^{3}

Jetzt müsste ja dieses

y = g (x)

sein, also setze ich:

f (b_{0} + b_{1} (x - x_{0}) + b_{2} {(x - x_{0})}^{2} + b_{3} {(x - x_{0})}^{3}) =

c_{0} + c_{1} (b_{0} + b_{1} (x - x_{0}) + b_{2} {(x - x_{0})}^{2} + b_{3} {(x - x_{0})}^{3} - y_{0}) +

c_{2} {(b_{0} + b_{1} (x - x_{0}) + b_{2} {(x - x_{0})}^{2} + b_{3} {(x - x_{0})}^{3} - y_{0})}^{2} +

c_{3} {(b_{0} + b_{1} (x - x_{0}) + b_{2} {(x - x_{0})}^{2} + b_{3} {(x - x_{0})}^{3} - y_{0})}^{3}

und dann sortieren, wobei ich

y_{0} = c_{0}

setze?
Ist diese Vorgehensweise korrekt?

student11 aktiv_icon

21:44 Uhr, 07.03.2012

Habe das nun ausprobiert, wobei ich mir nicht sicher bin, was ich denn für

y_{0}

wirklich einsetzen muss.. jedenfalls ergibt das bei mir:

1 - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{4}}{4} - \frac{x^{6}}{8},

was sowohl vom Grad her nicht stimmt (der ist ja nun zu hoch, müsste ich einfach nach oben kürzen?? oder habe ich was falsch gemacht?) als auch sonst nicht, denn mit der "normalen Methode" komme ich auf

e (1 - \frac{x^{2}}{2}) .

.

Mein Lösungsweg war: ich nehme dieses

g (x) = b_{0} + ... + b 3 {(x - x_{0})}^{3}

und setze es genau so in

f (y)

ein als

y

. Für

y_{0}

habe ich 0 gewählt, da ich ja um 0 entwickeln muss??

Also konkret für dieses Beispiel

f (x) = e^{x}

und

g (x) = cos (x)

habe ich erhalten:

b_{0} = 1, b_{1} = 0; b 2 = - \frac{1}{2}, b_{3} = 0

und

c_{0} = c_{1} = c_{2} = c_{3} = 1 .

.

Gibt es einen grundsätzlichen Überlegungsfehler??
Denn wenn ich es mit meiner Methode mache, scheint immer ein grösserer Grad als der gewünschte

(3)

herauszukommen.

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