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Total differenzierbar

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Funktionen

Tags: Funktion, total differenzierbar

Fabienne- aktiv_icon

17:41 Uhr, 29.05.2014

Hallo,

wir haben letztens in der Vorlesung totale Differenzierbarkeit gemacht. Und ich habe das irgendwie überhaupt nicht verstanden. :'(

Könnte mir jemand an diesem Beispiel das vielleicht erklären, damit ich es besser verstehe?

f (x, y) = \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}}

und für

(x, y) = (0, 0)

f (0, 0) = 0

Wäre echt super süß wenn mir das jemand anschaulich erklären kann.

Daaaaaaaanke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Mathe-Steve aktiv_icon

19:03 Uhr, 29.05.2014

Hallo,

vielleicht hilft Dir das de.wikipedia.org/wiki/Total_differenzierbar#Totale_Differenzierbarkeit

Dort ist alles erklärt und mehrere Problemfälle an Beispielen erklärt. die Deinem ähnlich sind.

Gruß

Stephan

Atlantik aktiv_icon

19:05 Uhr, 29.05.2014

Hier findest du noch eine Erklärung:

http//www.cg.tuwien.ac.at/research/vis/seminar9596/1-math/diff.html#total

mfG

Atlantik

Atlantik aktiv_icon

19:15 Uhr, 29.05.2014

Wenn ich es recht verstanden habe:

f (x, y) = \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}}

nach

x

abgeleitet:

\frac{2 x y \cdot (x^{2} + y^{2}) - x^{2} y \cdot 2 x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

nach

y

abgeleitet:

\frac{x^{2} (x^{2} + y^{2}) - x^{2} y \cdot 2 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

Totales Differential Summe der partiellen Ableitungen:

\frac{2 x y \cdot (x^{2} + y^{2}) - x^{2} y \cdot (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} + \frac{x^{2} (x^{2} + y^{2}) - x^{2} y \cdot 2 y}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

mfG

Atlantik

Mathe-Steve aktiv_icon

19:23 Uhr, 29.05.2014

Oh nein, mindestens muss an den ersten Summanden noch dx und an den zweiten dy multipliziert werden. Falls die partiellen Ableitungen in (0,0) stetig sind und es überhaupt geht.

Fabienne- aktiv_icon

19:41 Uhr, 29.05.2014

Und wie überprüfe ich am besten, dass diese Funktion für (0,0) stetig, oder nicht stetig ist?

Mathe-Steve aktiv_icon

19:54 Uhr, 29.05.2014

Wähle als Folge einmal (1/n|0) und einmal (1/n|1/n)

Was erhältst Du dann jeweils als Werte der partiellen Ableitungen $\frac{\partial f}{\partial x}$ und $\frac{\partial f}{\partial y}$ ?

Was folgerst Du daraus?

Fabienne- aktiv_icon

20:06 Uhr, 29.05.2014

Okay, also als partielle Ableitungen erhalte ich

\frac{\partial f}{\partial x} \frac{2 x y^{3}}{(x^{2} + y^{2})^{2}}

und

f r a c \partial f \partial y \frac{x^{2} (x^{2} - y^{2})}{(x^{2} + y^{2})^{2}}

Wenn ich die Folgen (1/n,0) und (1/n,1/n) betrachte, dann konvergieren beide gegen (0,0). Aber wenn ich es zum Beispiel in der partiellen Ableitung nach x betrachte, dann komme ich auf:

lim_{n \to \infty} \frac{0}{{\frac{1}{n}}^{4}} = 0

und

lim_{n \to \infty} \frac{2 \frac{1}{n^{4}}}{\frac{4}{n^{4}}} = \frac{1}{2}

Also ist es im Nullpunkt nicht stetig.

Mathe-Steve aktiv_icon

20:08 Uhr, 29.05.2014

f ist in (0|0) stetig.

Beide partiellen Ableitungen sind in (0|0) unstetig.

Das ist äußerst ungünstig, weil aus stetig partiell dfb auch total dfb folgern würde.

Fabienne- aktiv_icon

20:14 Uhr, 29.05.2014

Das verstehe ich gerade nicht so ganz.
Also f ist stetig in (0,0). Das habe ich bisher aber nicht gezeigt. Wie hast du das gemacht? Auch mit dem Folgenkriterium, oder ginge auch L'Hospital?

Die partielle Ableitung von f nach x ist in (0,0) unstetig und das heißt, dass f auch nicht total differenzierbar in (0,0) ist, richtig?
Und das reicht auch. Ich muss jetzt nicht mehr zeigen, dass die partielle Ableitung von f nach y für (0,0) stetig oder unstetig ist. (Es wird wohl ebenfalls unstetig sein).

Mathe-Steve aktiv_icon

20:24 Uhr, 29.05.2014

Wenn es nur so einfach wäre.

stetige partielle Differenzierbarkeit ? totale Differenzierbarkeit ? Differenzierbarkeit in jede Richtung ? partielle Differenzierbarkeit

Wenn die partiellen Ableitungen stetig wären, hätten wir auch totale Differenzierbarkeit.

Leider sind sie es nicht, deshalb muss die totale Differenzierbarkeit (oder eben nicht) anders gezeigt werden.

Deswegen schrieb ich, dass es äußerst ungünstig ist.

Die Stetigkeit von f in (0|0) sieht man für (x|y) -> (0|0) aus $| \frac{x^{2} y}{x^{2} + y^{2}} | = | \frac{y}{1 + {(\frac{y}{x})}^{2}} | < | y | \to 0$ .

Fabienne- aktiv_icon

20:28 Uhr, 29.05.2014

Die Stetigkeit von f in (0,0) also einfach mit einem Epsilon-Delta beweis.

Und wie kann ich dann zeigen, dass es nicht total differenzierbar ist?

Mathe-Steve aktiv_icon

20:47 Uhr, 29.05.2014

Für einen Punkt (x|x) gilt f(x|x) - f(0|0) = f(x|x) = 1/2 x.

Nun muss aber nach der Definition des totalen Differentials gelten $r (x, x) = \frac{1}{2} x$ und $\lim_{x \to 0} \frac{⌈ r (x, x) ⌉}{‖ (x | x) ‖} = \lim_{x \to 0} \frac{| \frac{1}{2} x |}{\sqrt{2} | x |} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{2}} \neq 0$ .

Fabienne- aktiv_icon

20:56 Uhr, 29.05.2014

Wir hatten totale Differenzierbarkeit so definiert:

U \subset ℝ^{n}

offen

f : U \to ℝ^{m}

heißt total differenzierbar in

x \in U

falles es eine Abbildung

φ : U \to ℝ^{m}

gibt mit

B \in M (m \times n, ℝ)

und

f (x + ξ) = f (x) + B ξ + φ (ξ)

und

lim_{ξ \to 0} \frac{φ (ξ)}{∣ ∣ ξ ∣ ∣} = 0

Ich erkenne nicht wirklich wie sich diese Definition mit deinem Rechenweg deckt.

Mathe-Steve aktiv_icon

21:01 Uhr, 29.05.2014

$φ (ξ) = r ((x, y))$

Fabienne- aktiv_icon

21:03 Uhr, 29.05.2014

Und was ist deine Matrix B?

Mathe-Steve aktiv_icon

21:05 Uhr, 29.05.2014

Weil f nicht total dfb ist, kann ich sie nicht angeben.

Fabienne- aktiv_icon

21:11 Uhr, 29.05.2014

Um die totale Differenzierbarkeit zu wiederlegen reicht es also eine beliebige Abbildung anzugeben für die

lim_{ξ \to 0} \frac{φ (ξ)}{∣ ∣ ξ ∣ ∣}

nicht gegen Null konvergiert?

Könntest du noch einmal in Worte fassen was du genau oben gemacht hast? Das würde mir glaube ich sehr helfen.

Mathe-Steve aktiv_icon

21:29 Uhr, 29.05.2014

Wenn f in (0,0) total dfb wäre, müsste es eine Matrix B geben. Die Einträge der Matrix B (Jacobimatrix) sind aber gerade die partiellen Ableitungen an der Stelle (0,0), also müsste B=(0,0) gelten.

Dann aber ist $f (x + ξ) - f (x) = φ (ξ)$ . nun ist bei mir x=(0,0), weil wir diese Stelle untersuchen wollen und $ξ = (x, x)$ gewählt.

Fabienne- aktiv_icon

21:48 Uhr, 29.05.2014

Okay, vielen Dank.

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