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Trapez halbieren mit Strecke parallel zu Grundlini

Schüler

Tags: Ähnlichkeit von Dreiecken, Fläche, halbieren, Strahlensatz, Trapez

mathchecker aktiv_icon

21:01 Uhr, 01.11.2011

Hallo,

ich bräuchte etwas Hilfe bei folgender Aufgabe:

Ein Trapez soll durch eine Strecke parallel zu den beiden Grundlinien flächengleich geteilt werden.

Der Lösungsweg sollte dabei mehr auf algebraischen Mitteln

(z . B

. Strahlensatz) basieren.

Vielen Dank für Eure Hilfe

Michael

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Bestimmtes Integral (Mathematischer Grundbegriff)
Flächenberechnung durch Integrieren

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächeninhalt und Umfang eines Trapezes
Raute / Drachenviereck / Trapez
Strahlensatz und Ähnlichkeit

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Doener aktiv_icon

23:14 Uhr, 01.11.2011

erstmal was is denn die formel für den flächeninhalt?... wieso is das so? vllt is das ja schon hilfe genug :-D)

mathchecker aktiv_icon

23:26 Uhr, 01.11.2011

Ich glaube du unterschätzt die Aufgabe etwas.

Der Flächeninhalt ist

\frac{a + c}{2} \cdot h

.

Wenn du die Aufgabe genau durchdenkst, ist das nicht Hilfe genug.

Wenn du das doch meinst, klär mich bitte auf ;-)

prodomo aktiv_icon

06:23 Uhr, 02.11.2011

Verlängere die Seiten AD und BC, bis sie sich schneiden. Dann hast du eine Strahlensatzfigur. Jetzt lege eine dritte Parallele im Abstand

x

a

in das Trapez, so dass sie das Trapez halbiert. Formuliere diesen Zusammenhang als Term, wobei

x

sich mit dem Strahlensatz aus

h, a

und

c

bestimmen lässt. Melde dich, wenn du einen Vorschlag oder Fragen hast.

Atlantik aktiv_icon

08:23 Uhr, 02.11.2011

Ich habe mal ein Trapez gezeichnet.

Du kannst jetzt 2 Trapezflächen aufstellen und diese einander gleichsetzen.

mfG

Atlantik

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

prodomo aktiv_icon

08:37 Uhr, 02.11.2011

Verlängere die Seiten wie beschrieben bis zum Schnittpunkt. Die Höhe des Dreiecks oberhalb des Trapezes sei

z,

die Spitze des Dreiecks S. Dann gilt für den Flächeninhalt

F

des Dreiecks CDS:

F = \frac{c \cdot z}{2},

für den Flächeninhalt

G

des Dreiecks ABS

G = \frac{a \cdot (h + z)}{2},

wobei

h

die Trapezhöhe ist. nach dem Strahlensatz ist

\frac{h + z}{z} = \frac{a}{c}

. Das eingesetzt liefert

\frac{G}{F} = \frac{a^{2}}{c^{2}}

. Andererseits ist der Flächeninhalt des Trapezes ja

G - F

. Mit

\frac{G}{F} = \frac{a^{2}}{c^{2}}

ergibt sich

G - F = G - G \cdot \frac{c^{2}}{a^{2}} = G \cdot \frac{a^{2} - c^{2}}{c^{2}}

. Jetzt legt man die Parallele zu a und

c

so in das Trapez, dass es halbiert wird. Die Höhe von dieser Parallele bis zu

S

soll

x

sein. Auch das halbe Trapez stellen wir jetzt als ganzes Dreieck mit oberes Dreieck dar. Das halbe Trapez ist

G \cdot \frac{a^{2} - c^{2}}{2 \cdot c^{2}}

. Andererseits ist es auch

G - G \cdot \frac{x^{2}}{a^{2}}

. Zusammen liefert das

G \cdot \frac{a^{2} - x^{2}}{a^{2}} = G \cdot \frac{a^{2} - c^{2}}{2 \cdot c^{2}}

. Daraus lässt sich

x

bestimmen.

mathchecker aktiv_icon

12:30 Uhr, 02.11.2011

Danke für deinen guten Beitrag!

Allerdings hakt es bei meinem Verständnis an einer Stelle.

x

ist die Höhe der Grundlinie des halben Trapezes zu

S

und es gilt

G - G \cdot \frac{x^{2}}{a^{2}}

Wie passt das zusammen?

Die Strecken

x

und a lassen sich

m . E

. nicht auf diese Weise in Beziehung setzen.

Vielen Dank für Deine Hilfe!

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