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Trigonometrische Ungleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Definitionsbereich, Lösungsmenge

tin88 aktiv_icon

14:48 Uhr, 05.07.2015

Hallo!
Ich soll von folgender Ungleichung Difintionsbereich und Lösungsmenge bestimmen:

\sqrt{\frac{1}{4} s i n (x)} > s i n (x) \sqrt{c o s (x)}

Definitionsbereich im Intervall

[0, 2 π]

ist meinen Überlegungen nach

[0, \frac{π}{2}]

. Wenn jetzt aber der größtmögliche Def. angegeben werden soll, muss das auf R erweitert werden. Wie kann ich das richtig anschreiben?

\cap_{k \in ℤ} [k π, \frac{(2 k + 1) π}{2}]

Stimmt das?

Beim Lösen der Ungleichung bin ich im Moment etwas überfragt. Darf man bei Ungleichungen überhaupt quadrieren? Hat jemand einen Ansatz für mich?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Definitionsbereich
Definitionsbereich der Wurzel angeben
Definitionsbereich einer Wurzelfunktion
Einführung Funktionen

Definitionsbereich
Definitionsbereich der Wurzel angeben
Definitionsbereich einer Wurzelfunktion

michaL aktiv_icon

15:19 Uhr, 05.07.2015

Hallo,

Null liegt im Definitionsbereich der Ungleichung. Leider gilt die Ungleichung für Null nicht:

\sqrt{\frac{1}{4} \sin (0)} = 0 = \sin (0) \cos (0)

. Aber:

0 > 0

gilt eben leider nicht.

Kannst du nicht einen Scn der Originalaufgabnstellung posten?

Mfg Michael

rundblick aktiv_icon

15:23 Uhr, 05.07.2015

"
Darf man bei Ungleichungen überhaupt quadrieren?"

berechtigte Frage .. da muss man die Angelegenheit jeweils genau anschauen

nun, in deinem Beispiel sind innerhalb des

(\to

richtig!) gefundenen Def.-Bereichs
( ausser in dessen Randstellen ) beide Seiten

> 0

und wenn

A > 0, B > 0

und

A > B

dann ist

A^{2} > B^{2}

und dann auch

A^{2} > B^{2} \Rightarrow A > B

wegen

A > 0

und

B > 0

na ja .. für die Lösungsmenge deiner Ungleichung
kannst du demnach die Lösungsmenge der Ungleichung

\frac{1}{2} > sin (2 x)

(aber nur jene innerhalb der oben gefundenen Def.-Bereiche) ermitteln ..

.

tin88 aktiv_icon

16:50 Uhr, 05.07.2015

Danke für eure Antwort.
Als Angabe habe ich einzig die Ungleichung mit der Frage nach dem größtmöglichen Def. und der Lösungsmenge.

Als Lösung erhalte ich somit zum Einen

x < \frac{π}{12}

Allerdings erhalte ich ja eine zweite Lösung

\frac{5 π}{6}

für die Gleichung

\frac{1}{2} = s i n 2 x

. Durch das Aufzeichnen beider Seiten der ursprünglichen Ungleichung weiß ich, dass hier

x > \frac{5 π}{12}

sein muss. Wie erhalte ich aber das Größerzeichen rechnerisch?

abakus

21:00 Uhr, 07.07.2015

Hallo,
durch Quadrieren erhältst du
0,25 sin(x)>sin²(x)*cos(x).
0 ist keine Lösung, weil nicht 0>0 gilt.
Da wir vom Definitionsbereich her wissen, dass dann sin(x)>0 gilt, ändert sich bei Division durch sin(x) das Relationszeichen nicht.
Also folgt 0,25 >sin(x)*cos(x).
Multiplikation mit 2 (und das Wissen, dass 2sin(x)cos(x)=sin(2x) gilt) liefert
0,5>sin(2x).
Daraus folgt (falls 2x zwischen 0 und

π

liegt)

0 < 2 x < π / 6

oder

5 π / 6 < 2 x < π

.

Allgemein gilt ja die bekannte Quadrantenbeziehung

s i n (x) = s i n (π - x)

.
Ich glaube fast, dieser letzte Satz ist die eigentliche Antwort auf deine Frage.

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