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Übertragungsfunktion Laplace

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Tags: Funktion, Funktionalanalysis, Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen, laplace, übertragungsfunktion

Goggolori aktiv_icon

20:42 Uhr, 26.01.2017

Servus Leute, folgende Aufgabe gilt es zu lösen und ich bin wohl mal wieder zu dumm dafür.

G (s) = \frac{7 s^{2} + 29 s + 320}{s^{2} + 4 s + 29}

anhand der Übertragungsfunktion ist die Impulsantwort

g (t)

mit Hilfe der Laplace Transformation
zu ermitteln.

da der Nennergrad gleich dem Zählergrad (keine Partialbruchzerlegung)

wenn ich eine Polynomdivision machen will habe ich das Problem das der Nenner nur Komplexe polstellen besitzt und ich nicht verstehe wie das dann funktionieren soll.

s 1 = - 2 + 5 i

s 2 = - 2 - 2 i

Jemand ne Idee ???

ich habe mal so angefangen

(7 s^{2} + 29 s + 320) (/) (s^{2} + 4 s + 29) = 7 + \frac{1}{s} + \frac{113 - \frac{29}{s}}{s^{2} + 4 s + 320}

- (7 s^{2} + 28 s + 203)

s + 117

- (s + 4 + \frac{29}{s})

= 113 - \frac{29}{s}

jetz könnt ich ja eine Pbz machen, doch habe ich immer noch die Komplexen Polstellen und der Bruch lässt sich auch nicht Faktorisieren oder???

vill kann mir auch mal jemand erklären wie ich eine Pbz mit komplexen Polstellen mache bitte nicht an der Standardfunktion aus Wikipedia die überall im nett zu finden ist.

Schier am Verzweifeln. :-) :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Roman-22

13:02 Uhr, 28.01.2017

Du suchst doch nur ganz simpel die Rücktransformierte von

G (s)

bei der Laplace Trafo, oder.

Da solltest du dir erstmal in einem Schulbuch die Polynomdivision ansehen und dann dabei beachten, nicht falsch und "zu weit" zu rechnen. Koeffizienten wie

\frac{1}{s}

sind nicht zielführend.

Es ist

\frac{7 s^{2} + 29 s + 320}{s^{2} + 4 s + 29} = 7 + \frac{s + 117}{s^{2} + 4 s + 29}

und basta!

Und warum irritiert dich, dass der Nenner keine reellen Nullstellen hat?
Der Nenner ist

s^{2} + 4 s + 29 = {(s + 2)}^{2} + 25

.

Und du wirst doch schlaue Transformationstabellen haben, denen du die Rücktransformierte davon leicht entnehmen kannst.

g (t) = 7 \cdot δ (t) + e^{- 2 t} \cdot (cos (5 t) + 23 sin (5 t))

δ (t)

ist dabei der Dirac Einheitsimpuls.

Goggolori aktiv_icon

17:11 Uhr, 28.01.2017

Erstmal, Danke für die Antwort :-)

Die Polynomdivision war nur meine Letzter Ast :-)

was ich übersehen habe.

Da

G (s) =

ys / ws und ich ja

y (s)

also die Ausgangsgröße (Impulsantwort) haben will muss ich doch die Funktion mit

w (s)

also einem Einheitssprung

\frac{1}{s}

Multiplizieren.

dann bekomme ich folgenden Term

y (s) = \frac{7 s^{2} + 29 s + 320}{s^{3} + 4 s^{2} + 29 s}

diesen Term würde ich halt gern über eine Partialbruchzerlegung so zerteilen das ich mit den einfachen Transformationstabellen schnell eine Rücktransformation machen kann.

leider habe ich in der Prüfung nicht alle Tabellen zur Verfügung.

und da der Nenner nun nur Komplexe Polstellen besitzt

s 1 = 0 s 2 = - 2 + 5 i

und

s 3 = - 2 - 5 i

weiß ich nicht wie ich dann die Partialbruchzerlegung machen muss.

Ps:

z . b

. steht

{(s + 2)}^{2} + 25

leider nicht in der Tabelle die ich zur Verfügung habe.

Roman-22

19:32 Uhr, 28.01.2017

Du meinst, dass dir so etwas wie
Bild1

nicht zur Verfügung steht?

Dann musst du es dir entweder merken, oder mühsam (evt. auch nur am konkreten Beispiel) herleiten.

\to

Partialbruchzerlegung mit nicht-reellen Koeffizienten:

ZB:

\frac{ω}{{(s + a)}^{2} + ω^{2}} = \frac{A}{s + a + j ω} + \frac{B}{s + a - j ω}

führt auf

A = \frac{j}{2}

und

B = - \frac{j}{2}

.

Die Rücktrafo von

\frac{j}{2} \cdot \frac{1}{s + a + j ω} - \frac{j}{2} \cdot \frac{1}{s + a - j ω}

führt auf

\frac{j}{2} \cdot e^{(- a - j ω) \cdot t} - \frac{j}{2} \cdot e^{(a + j ω) \cdot t} = ... = e^{- a \cdot t} \cdot sin (ω \cdot t)

1352996

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