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Umformung Binomialkoeffizient

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Funktionen

Tags: Funktion

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22:54 Uhr, 21.10.2012

Wir sollen zeigen, dass

(\begin{matrix} n \\ k - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = (\begin{matrix} n + 1 \\ k \end{matrix})

Mit der Definition des Bin.koeffizienten komme ich erstmals auf:

\frac{n!}{(k - 1)! (n - k - 1)!} + \frac{n!}{(n - k)! k!}

Gibt es einen Weg, von hier aus umzuformen oder muss man einfach stupide gleichnamig machen?

Danke

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Mathe45

23:00 Uhr, 21.10.2012

Da kann man vorher schon was machen.
Hinweis:

k! = 1.2.3.4 ... . (k - 1) . k

(k - 1)! = 1.2.3.4 ... (k - 1)

Also ist

k! = (k - 1)! . k

Mathe45

23:14 Uhr, 21.10.2012

Achtung: Fehler in deiner Formel!

(\begin{matrix} n \\ k - 1 \end{matrix}) = \frac{n!}{(k - 1)! \cdot (n - k + 1)!}

Mathe45

23:25 Uhr, 21.10.2012

(\begin{matrix} n \\ k - 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) = \frac{n!}{(k - 1)! \cdot (n - k + 1)!} + \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = \frac{n! \cdot k}{k! \cdot (n - k + 1)!} + \frac{n! \cdot (n - k + 1)}{k! \cdot (n - k + 1)!} =

= \frac{n! \cdot (k + n - k + 1)}{k! \cdot (n - k + 1)!} = \frac{n! \cdot (n + 1)}{k! \cdot (n - k + 1)!} = \frac{(n + 1)!}{k! \cdot (n - k + 1)!} = (\begin{matrix} n + 1 \\ k \end{matrix})

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11:57 Uhr, 22.10.2012

Vielen Dank, das hat sehr geholfen!

Ich habe noch eine weitere, ähnliche Frage, die ich auch hier posten möchte: Und zwar sollen wir den Binomischen Lehrsatz:

{(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) a^{n - k} \cdot b^{k}

für

n

aus

ℕ_{0}

und beliebige

a, b

beweisen.

Induktionsanfang ist klar

= {(a + b)}^{0} = 1 = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix}) a^{0} b^{0}

Induktionsannahme: Lehrsatz für

n

bereits bewiesen.

Indschritt:

n \to n + 1 : {(a + b)}^{n + 1} = (\sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) a^{n - k} \cdot b^{k}) (a + b)

Weiter weiss ich nicht - habt ihr mir einen Tipp? Bitte nicht ganze Lösung hinschreiben, ich will selber mitlösen :-)

Danke

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14:45 Uhr, 22.10.2012

Schonmal nicht schlecht, wie wäre es mit ausmultiplizieren?
Dannach könnte man das

x

und das

y

in die beiden entstehenden Summen integrieren.

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12:02 Uhr, 23.10.2012

ok, wäre das da als erster Schritt richtig:

\sum_{k = 0}^{n} \cdot a \cdot (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) a^{n - k} b^{k} + \sum_{k = 0}^{n} \cdot b (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) a^{n - k} b^{k}

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12:06 Uhr, 23.10.2012

Ja.

Bzw. man schreibt nicht

\sum \cdot a,

die Multiplikation bleibt dort weg

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12:28 Uhr, 23.10.2012

Ok, ich kann jetzt noch das a und

b

reinnehmen, dann sieht das Ganze so aus:

\sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) a^{n - k + 1} b^{k} + \sum_{k = 0}^{n} \cdot (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) a^{n - k} b^{k + 1}

wobei ja schlussendlich das Ziel wäre, zu einer Formel mit einer oberen Summationsgrenze von

n + 1

zu kommen. Für die linke Seite dieser Summe wusste ich gerade nicht wie vorgehen, damit ich es entsprechend umformen kann.

Edit: Stimmt, Flfehler wegen Unübersichtlichkeit der Mathjax-Formel

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12:31 Uhr, 23.10.2012

Das Schöne ist, ganz oben am Anfang hast du eine Rechenregel nachgewiesen, bzw. sie wurde nachgewiesen, arbeite doch auf diese hin.
Rechts steht

n + 1

im Binomialkoeffizienten, also forme deine beiden Summen so um das du die Regel anwenden kannst.

Das Stichwort lautet hier "Indexshift"

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14:37 Uhr, 23.10.2012

Ich habs, ich habs!

Das mit Indexshift wusste ich, aber die obere Formel hatte ich schon wieder vergessen..also so:

\sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) a^{n - k} b^{k + 1} = \sum_{k = 1}^{n + 1} (\begin{matrix} n \\ k - 1 \end{matrix}) a^{n + 1 - k} b^{k}

Also haben wir jetzt:

\sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) a^{n - k + 1} b^{k} + \sum_{k = 1}^{n + 1} (\begin{matrix} n \\ k - 1 \end{matrix}) a^{n + 1 - k} b^{k}

Wie du gesagt hast muss man nun die Formel von ganz oben verwenden. Dafür muss man aber die Summen so schreiben, dass man sie überhaupt zusammennehmen kann, und das kann man machen, in dem man von

k = 1

bis

n

summiert, das aber um die entsprechenden ausgelassenen Terme ergänzt. Also so:

\sum_{k = 1}^{n} ((n + 1), k) a^{n - k + 1} b^{k} + a^{n + 1} + b^{n + 1}

und das ist gleich:

\sum_{k = 0}^{n + 1} (\begin{matrix} n + 1 \\ k \end{matrix}) a^{n + 1 - k} b^{k}

:-) :-)

Danke Danke Danke Danke Danke

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14:42 Uhr, 23.10.2012

Wenn du oben noch statt "

\Leftrightarrow

" ein " = " schreibst ist denke ich alles gut, prima!

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14:48 Uhr, 23.10.2012

was ist genau der unterschied, bzw wann darf/soll man "=" statt "<=>" verwenden?

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15:00 Uhr, 23.10.2012

" = " bedeutet, links steht dasselbe wie rechts.

"

\Leftrightarrow

" ist ein logisches Symbol und bedeutet Äquivalenz und heißt dass aus dem linken das rechte folgt und aus dem rechten das linke, die Wahrheitswerte beider Seiten besitzen den gleichen Wahrheitswert.

Beim Lösen von Gleichungen bspw.

2 x - 1 = 0 \Leftrightarrow 2 x = 1 \Leftrightarrow x = \frac{1}{2}

Hier benutzt du beide Zeichen, abernicht ein "

\Leftrightarrow

" Zeichen statt des Gleichheitszeichens, das bedeutet hier, die erste Gleichung und die zweite Gleichung sind von derselben logischen Form (wenn man das so ausdrücken kann), die Konsequenz ist einfach, bei beiden kommt dieselbe Lösung raus, deswegen ist das eine Äquivalenzumformung.

Im prinzip wäre es: Aussage

\Leftrightarrow

Aussage
Aber die Summe kann ja nicht als Aussage interpretiert werden.

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15:04 Uhr, 23.10.2012

Alles klar, thx!

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15:04 Uhr, 23.10.2012

Alles klar, thx!

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15:05 Uhr, 23.10.2012

Alles klar, thx!

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