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Umformung einer Ungleichung

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Tags: Definitionsbereich bestimmen, Funktion

kerox75 aktiv_icon

03:51 Uhr, 06.09.2023

Hallo,

ich habe einen doofen Fehler in meinem Denken, der nicht weggehen will. Ich habe die Ungleichung 4 +

\frac{1}{x}

\geq

0. Daraus folgt ja, dass

\frac{1}{x}

\geq

-4 aber nun stand auf einer Folie, dass somit -

\frac{1}{4}

\geq

x gilt. Da komme ich nicht hinterher. Ich dachte, man kann das Reziproke nur nehmen, wenn beide Seiten dasselbe Vorzeichen haben. Wenn ich zb für x= -1/5 einsetze, was ja kleiner als -1/4 ist, würde -5

\geq

-4 sein und das stimmt doch nicht. Oder sind das Fallunterscheidungen unter der Bedingung, dass x nicht 0 ist also einmal grösser und kleiner 0. Übrigens war der Term in der Wurzel also man sollte den Definitionsbereich anegeben ( für den Kontext)

Vielen lieben Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

pivot aktiv_icon

05:43 Uhr, 06.09.2023

Hallo,

Fallunterscheidung ist der richtige Weg. Allgemein gilt in der Mathematik bzw. beim Lösen von (Un)gleichungen: Abkürzungen führen sehr schnell zu Fehlern. Das sollte man unbedingt vermeiden, auch wenn es immer wieder verführerisch ist. Also

I.

x > 0

\frac{1}{x} \geq - 4 ∣ \cdot x

1 \geq - 4 x ∣ : (- 4)

- \frac{1}{4} \leq x

Somit ist die erste Teillösung

x > 0

. Nun der zweite Fall:

II.

x < 0

\dots

Gruß
pivot

michaL aktiv_icon

07:41 Uhr, 06.09.2023

Hallo,

> ich habe einen doofen Fehler in meinem Denken, der nicht weggehen will.
Und zwar:
> Wenn ich zb für x= -1/5 einsetze, was ja kleiner als -1/4 ist,

Erst wenn dieser Unfug aus deinem Kopf verschwunden ist, ist vielleicht genug Platz, es danach richtig zu machen.

Um es zu betonen:

- \frac{1}{5}

ist GRÖßER als

- \frac{1}{4}

.

Mfg Michael

kerox75 aktiv_icon

08:22 Uhr, 06.09.2023

Vielen lieben Dank! Das war mir nicht bewusst aber jetzt ist es eingespeichert :-). Wieso geht man bei ungleichen auch über eine Fallunterscheidung wie zb bei dem Betrag? Ist die Ungleichung auch so definiert ? Bei Gleichungen ist das doch nie der Fall oder lässt das UNgleiche eben diese Freiheit zu wählen zu?

Für x<=0 :

4 + \frac{1}{- x} > = 0

- x < =

- \frac{1}{4}

Aber das scheint mir falsch
Hab keinen Plan

Respon

08:35 Uhr, 06.09.2023

4 + \frac{1}{x} \geq 0

Setzen wir voraus, dass

x < 0

sei

(x = 0

müssen wir ausschließen, da sonst der Bruch

\frac{1}{x}

nicht definiert ist ).

\Rightarrow

4 + \frac{1}{x} \geq 0

- 4

\frac{1}{x} \geq - 4

| \cdot x

da wir

x < 0

annehmen, dreht sich das Relationszeichen um

1 \leq - 4 \cdot x

| : (- 4)

da wir durch eine negative Zahl dividieren, dreht sich das Relationszeichen um

- \frac{1}{4} \geq x

bzw,

x \leq - \frac{1}{4}

calc007

09:32 Uhr, 06.09.2023

Darf ich das schon Gesagte nochmals zusammenfassend in meine Worte fassen:

Bei Ungleichungen musst du aufpassen:

a)

Wenn du den Kehrwert bildest, dann dreht sich das Größer-Kleiner-Zeichen um.

z . B . :

1000000 > 1

Kehrwert:

\frac{1}{1000000} < \frac{1}{1}

b)

Wenn du mit negativen Zahlen (Größen) multiplizierst, dann dreht sich das Größer-Kleiner-Zeichen um.

z . B . :

1000000 > 1

ganze (Un-)Gleichung mal

(- 1)

- 1000000 < - 1

Ich ahne, in deinem Beispiel wolltest du beides auf einmal machen. Das führt zu Verwirrung.
Also schön Schritt für Schritt, dann verstolpert man sich nicht so leicht.

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