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Umkehrfunktion bilden

Universität / Fachhochschule

Funktionentheorie

Tags: Funktionentheorie, Inverse Funktion, Umkehrfunktion

anonymous

12:08 Uhr, 28.09.2017

Hallo,

ich bin auf der Suche nach der Umkehrfunktion zu folgenden Gleichung

y = \frac{2 x - 1}{x - x^{2}}

Gibt es zu dieser Gleichung eine Umkehrfunktion?
Wenn ja, wie lässt sich diese ermitteln?
Wenn nein, ist eine Näherung möglich?

Vielen Dank im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Umkehrfunktion

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anonymous

13:04 Uhr, 28.09.2017

das ist eine gemischt quadratische Gleichung:

y \cdot (x - x^{2}) = 2 \cdot x - 1

0 = (y) \cdot x^{2} + (2 - y) \cdot x - 1

DrBoogie aktiv_icon

13:05 Uhr, 28.09.2017

Es gibt keine "globale" Umkehrfunktion, da diese Funktion nicht injektiv ist.
Aber es gibt Umkehrfunktionen für "Injektivitätsbereiche", z.B. für

x \in (1, \infty)

.
Berechnung geht direkt:

y = (2 x - 1) / (x - x^{2}) = > y (x - x^{2}) = 2 x - 1 = > x y - x^{2} y - 2 x = - 1 = > y x^{2} + (2 - y) x - 1 = 0

und weiter quadratische Gleichung lösen:

x = - \frac{2 - y}{2 y} \pm \sqrt{(\frac{2 - y}{2 y})^{2} + \frac{1}{y}}

.
Für den Bereich

x \in (1, \infty)

hat man dann

x = - \frac{2 - y}{2 y} + \sqrt{(\frac{2 - y}{2 y})^{2} + \frac{1}{y}}

, dabei ist

y

aus dem Bereich

(- \infty, 0)

.

Es ist hilfreich, den Graphen von

y = (2 x - 1) / (x - x^{2})

anzukucken.

anonymous

08:29 Uhr, 04.10.2017

Die Kennlinie dieser Funktion habe ich beigefügt. Diese weist einen nichtlinearen Verlauf auf.

Mein Ziel ist es mit der Umkehrfunktion die Kennlinie zu linearisieren.

Ich hatte vergessen zu erwähnen, dass

0 < x < 1

gilt.

Gibt es dafür auch "Injektivitätsbereiche"?

DrBoogie aktiv_icon

10:10 Uhr, 04.10.2017

"Mein Ziel ist es mit der Umkehrfunktion die Kennlinie zu linearisieren."

Umkehrfunktion hat aber nicht mit der Lineasierung zu tun.
Du kannst mit der 1. Ableitung linearisieren, die Frage ist nur, in welchem Punkt.
Global kann man eine Funktion, welche auf einem endlichen Intervall alle mögliche Werte annimmt, nicht linearisieren, denn lineare Funktion auf einem endlichen Intervall ist beschränkt.

"Gibt es dafür auch "Injektivitätsbereiche"?"

Auf

(0, 1)

ist die Funktion injektiv, also umkehrbar. Nur ob es Dir hilft...

Roman-22

10:19 Uhr, 04.10.2017

>

Gibt es dafür auch "Injektivitätsbereiche"?
Ja, im Grunde kannst du zwei Bereiche festmachen, in denen die Funktion umkehrbar ist.
Das ist zum einen der dich interessierende Bereich mit

x \in] 0; 1 [

und der Umkehrung

f^{⋆} (x) = \frac{1}{2 x} \cdot (x - 2 + \sqrt{x^{2} + 4})

Und der zweite Bereich ist quasi der Rest (mit Ausnahme von 0 und

1,

wo die Funktion

f

ja nicht definiert ist). Für

x \in ℝ \ [0; 1] =] - \infty; 0 [\cup] 1; + \infty [

ist die Umkehrung

f^{⋆} (x) = \frac{1}{2 x} \cdot (x - 2 - \sqrt{x^{2} + 4})

.

Wenn du

f^{⋆}

an einer Stelle linearisieren möchtest kann es geschickter sein, erst

f

an der entsprechenden Stelle zu linearisieren und dann davon die Umkehrung zu bilden, was ja hinreichend einfach ist.

anonymous

10:39 Uhr, 04.10.2017

Vielen Dank für die Hilfe. Kann es vielleicht sein, dass ich einen falschen Ansatz habe, oder falsches Vokabular verwende?

Ich habe meine nichtlineare Kennlinie (schwarz), wie in der folgenden Abbildung dargestellt, die ich mit der inversen Funktion (rot) linearisieren (zu einer Geraden machen, orange) möchte.

DrBoogie aktiv_icon

10:50 Uhr, 04.10.2017

Was meinst Du unter "zu einer Geraden machen"?
Zu einer Gerade machen kann man nur eine Gerade.
Linearisieren bedeutet "durch eine Gerade approximieren", das hat nichts mit Umkehrfunktionen zu tun und kann nur lokal funktionieren.
Vermutlich hast Du eine Idee, die wenig mit Mathematik zu tun hat.

anonymous

10:55 Uhr, 04.10.2017

Okay dann mathematisch ausgedrückt:

such für die Funktion

y = \frac{2 x - 1}{x - x^{2}}

eine Funktion

z,

sodass

y (x) \cdot z (x) = k \cdot x

DrBoogie aktiv_icon

11:00 Uhr, 04.10.2017

Dann ist trivialerweise

z (x) = \frac{k x}{y (x)}

.
Das hat weder mit Umkehrfunktion noch mit Linearisierung etwas zu tun.

anonymous

17:41 Uhr, 10.10.2017

Okay, der Ansatz

y (x) \cdot z (x) = k \cdot x

ist falsch

\to

mein Fehler!

Ich versuche die Frage anders zu stellen:

Ich möchte die Funktion

y (x) = \frac{2 x - 1}{x - x^{2}}

(blau) an der Geraden

k \cdot x = k \cdot (2 x - 1)

(orange) mit

k = 11

spiegeln.

Ist dies möglich?

supporter aktiv_icon

18:07 Uhr, 10.10.2017

y (x - x^{2}) = 2 x - 1

y x - y x^{2} - 2 x + 1 = 0

y x^{2} - y x + 2 x - 1 = 0

y x^{2} - (y - 2) \cdot x - 1 = 0

pq-Formel:

x_{1,2} = . .

anonymous

18:27 Uhr, 10.10.2017

Diesen Ansatz habe ich zunächst auch verfolgt und bin leider nicht auf die gespiegelte Kennlinie gekommen.

Statt der pq-Formel verwende ich die abc-Formel (Mitternachtsformel), die zum gleichen Ergebnis führt.

x_{1,2} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 \cdot a \cdot c}}{2 a}

eingesetzt

x_{1,2} = \frac{(y - 2) \pm \sqrt{4 + y^{2}}}{2 y}

Dann bekomme ich die Kennlinie in blau für -
und die Kennlinie in orange für

+

Also nicht zum gewünschten Ergebnis.

supporter aktiv_icon

18:33 Uhr, 10.10.2017

Sorry, um die pq-Formel verwenden zu können, muss du noch durch

y

teilen.
Ich habe übersehen, dass das oben schon gemacht wurde und die Aufgabe älter ist. ;-)

anonymous

18:38 Uhr, 10.10.2017

Mit der pq-Formel komme ich leider nicht zum gewünschten Ziel.
siehe Beitrag vom

10.10.2017

18.27

Uhr

ledum aktiv_icon

19:38 Uhr, 10.10.2017

Hallo
ist das wirklich die Funktion? die ist für alle

x = 0

und

x = 1

nicht definiert.
und was meinst du mit der Geraden kx=k*(2x-1) daraus

x = 2 x - 1

also die Gerade

x = 1

? wenn du wirklich an der Geraden

x = 1

spiegeln willst ist da<s einfach
aber die um

17.41

gezeichnete Gerade ist etwa

y = - 9000 + \frac{0,5}{9000} \cdot x

Was willst du nun wirklich? und da du von Kennlinie sprichst welchen Zweck hat die Spiegelung?
und die jeweils gezeichneten Kurven haben wenig mit dem gegebenen

x

zu tun.
Bitte präzisiere deine Gerade?
Umkehrfunktion spiegelt an der Geraden

y = x

hier mal ein Bild mit der Spiegelung an der geraden

y = 0.5 x - 2

blau deine Funktion, grün die Gerade, orange die gespiegelt Funktion dabei die Gleichungen
Gruß ledum

anonymous

20:43 Uhr, 10.10.2017

Also gegeben ist die Funktion

f_{1} (x) = y = \frac{2 x - 1}{x - x^{2}},

wobei

0 < x < 1

in Ihrem Beispiel ist der Nenner vertauscht

x^{2} - x

In der Grafik anbei habe ich mit Excel die Funktion

f_{1} (x)

(blau) für

0,1 < x < 0,9

mit

0,01

Schritten, also

0,10 | 0,11 | 0,12 | 0,13

usw. berechnen und ausgeben lassen.

Die zweite Funktion

f_{2} (x) = (2 x - 1) \cdot 11

(orange) für

0,1 < x < 0,9

mit

0,01

Schritten
soll die Achse darstellen, an der die Funktion

f_{1} (x)

gespiegelt werden soll.

Diese neue Funktion erhalte den Namen

f_{3} (x)

.

Der Zweck der Spiegelung ist ein elektrotechnisches Problem: man spricht von einer Vorverzerrung, wenn dem Verstärker

f_{1} (x)

ein Vorverzerrer

f_{3} (x)

eingesetzt wird, dessen Kennlinie invers zu der Kennlinie des Verstärkers ist. Die Kettenschaltung aus Vorverzerrer

f_{3} (x)

und Verstärker

f_{1} (x)

ist dann linear

f_{2} (x)

aber das nur so nebenbei!

Roman-22

17:18 Uhr, 11.10.2017

Ich hoffe ich errate richtig, wie du verketten möchtest.
Ich vermute also, du möchtest, dass

f_{1} (f_{3} (x)) = f_{2} (x)

gilt, richtig?
Dann folgt daraus doch unmittelbar

f_{3} (x) = f^{- 1} (f_{2} (x))

.
Je nachdem, wie man das Vorzeichen bei der Umkehtung von

f_{2}

wählt, erhältst du dann zwei mögliche Varianten für

f_{3},

von denen aber sicher keine etwas mit Spiegelung zu tun hat.

Die Variante, die für deinen Bereich gilt, hat an der Stelle

x = \frac{1}{2}

eine hebbare Lücke.
Man kann sie mit der Zusatzdefinition

f_{3} (0,5) := 0,5

stetig ergänzen.
Es ist dies

f_{3} (x) = \frac{22 x - 13 + \sqrt{484 x^{2} - 484 x + 125}}{22 \cdot (2 x - 1)}

ledum aktiv_icon

22:51 Uhr, 11.10.2017

Hallo
wie werden denn Vorverstärker und Verstärker geschaltet, so wie Roman sagt, gibt das ja keine Gerade,
ich sehe auch nicht, wieso durch die Spiegelung eine Gerade entsteht!
Wenn du aber wirklich spiegeln willst, solltest du das nicht mit einem Graphen tun, sondern mit einer Kurve

k (t) = (t, f (t))

dabei dein

f

noch durch den 0 Punkt schieben, also statt deinem

f : g (x) = f (x + 0,5)

jetzt an der Geraden

G (t) = (1,22) \cdot t

spiegeln , die dazu benutze senkrechte Gerade

H (t) = (- 22,1) \cdot t = h \cdot t

dann die gespiegelt Kurve

g' (t) = g (t) + \frac{2 \cdot < h, g >}{{| h |}^{2}} \cdot h

. <a,b>=Skalarprodukt
am Ende kannst du wieder nach rechts schieben also das gepiegelte

f

ist dann

g' (x - 0.5))

Gruß ledum

Roman-22

23:58 Uhr, 11.10.2017

>

so wie Roman sagt, gibt das ja keine Gerade,
Aber natürlich ergibt das das gewünschte lineare Signal, wenn man den Output vom Vorverzerrer

f_{3} (x)

durch den Verstärker

f_{1}

jagt. Wie meine Zeichnung zeigt, ist

f_{1} (f_{3} (x))

genau die gewünschte Gerade.
Der Vorverzerrer bleibt, so wie es ja auch sein muss, brav im Bereich

] 0; 1 [

und erst der Verstärker wird dann seinem Namen gerecht.

anonymous

19:02 Uhr, 15.10.2017

Roman-22, Sie haben völlig recht, die Spiegelung an der Kennlinie ist in diesem Fall nicht zielführend (Denkfehler meinerseits).

Ihre Lösung stimmt, sehr gut!

Vielen Dank, auch an alle anderen die mitgeholfen haben!

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