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Umkehrfunktion einer Funktion mit Betrag!
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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Hallo! Habe noch eine Frage: Ich muss die Umkehrfunktion der meiner Meinung nach streng monoton fallenden Funktion f(x)= -x / 2 + |x| bilden und den WERTEBEREICH der Funktion angeben. Please help me !!! Danke Christian |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo Christian, glücklicherweise geht es in der Mathematik nicht um Meinungen. Aber zur Hälfte hast du Recht: f ist streng monoton fallend (aber nur im Intervall ]-unendl,0]), "rechts" davon ist f streng monoton wachsend. Im Grunde kannst du f auch definieren als: f(x)=x/2 für x ≥ 0 und (-3/2)x sonst. Damit ergibt sich als Definitionsbereich für f-1 [0,unendl[, allerdings ist f nicht bijektiv (Die Injektivität ist nicht gegeben.), also eigentlich nicht umkehrbar. Gruß, Marco |
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Sorry! Ich glaub ich habe die Funktion falsch hingeschrieben! Der zweite Teil steht komplett unterm Bruchstrich: -x / (2+|x|) Dann müsste sie aber für den gesamten Definitionsbereich streng monoton fallend sein oder? Gruß Christian |
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Ich glaube *MUHAHA* bei f(x)= -x / (2+|x|) macht man eine Fallunterscheidung bei x=0. Die Nummer hat Samurai oben angedacht. Geschweifte Klammer auf und "Gas geben"..., etwa durch Anwendung von MonotonieVerhalten auf diff.bare Funktionen. JA. - f ist streng mon fall. über R. Aber Du musst es nachweisen... -Steele- |
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Hallo! Wie sieht denn die korrekte Umkehrfunktion dann aus und wie soll ich den Beweis für "streng monoton fallend" erbringen? Ich habe bisher nur eine Skizze angelegt. Danke! Christian |
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Hallo Christian, f(x)=-x/(2+|x|), also für x≥0 : f(x)=-x/(2+x) , sonst f(x)=-x/(2-x) Somit musst du die Monotonie auch für jeden Bereich einzeln nachweisen, ich führe das mal für x<0 vor: Sei x<y<0, Behauptung: f(x)>f(y) <=> -x/(2-x)>-y/(2-y) <=> x(2-y) < y(2-x) <=> 2x-xy < 2y-xy <=> x < y Das passt also. Die andere Hälfte schaffst du selbst. Da die Funktion durch den Nullpunkt geht, kann man nun auch für y den Bereich größer gleich Null und kleiner Null unterscheiden: y<0: f(x)=-x/(2+x)=y <=>-x=2y+xy <=>-x(1+y)=2y <=>x=-2y/(y+1)=f-1(y) Auch hier überlasse ich dir die andere Hälfte. Gruß, Marco |
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