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Umkehrfunktion einer Wurzelfunktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Potenzgesetz, Umkehrfunktion bilden, Wurzelfunktion

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16:51 Uhr, 01.10.2015

Hallo, die Aufgabenstellung sagt uns, wir sollen das Rotationsvolumen eines Körpers um die y-Achse bestimmen. Im Intervall von

(0; 2)

f (x) = \sqrt{2 x^{3}}

DIe Formel für das Rotationsvolumen sieht wie folgt aus:

Vy:

π \cdot \int_{a}^{b} g^{2} (x) d x

Wobei

g (x)

die Umkehrfunktion von

f (x)

ist.

Wie finde ich nun die Umkehrfunktion raus?

Ich bin mittlerweile soweit gekommen, ich weiss nicht ob alles richtig ist, aber ich schreibs einfach mal hin:

\sqrt{2 x^{3}} = y

\Leftrightarrow 2 x^{3} = y^{2}

\Leftrightarrow x^{3} = \frac{y^{2}}{2}

Eine 3er Potenz löse ich ja so auf, dass ich dann in diesem Fall hier die 3.Wurzel ziehen würde oder?

Also:

\Leftrightarrow x = \sqrt[3]{\frac{y^{2}}{2}}

Aber das scheint mir viel zu kompliziert zu sein, da wir so was auch gar nicht in der Vorlesung gesehen haben.

Die Lösung lautet: Vy

\approx 21,54

Könnt ihr mir irgendwie helfen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Wurzelfunktionen (Mathematischer Grundbegriff)

DrBoogie aktiv_icon

17:06 Uhr, 01.10.2015

Einfacher wäre es mit der Formel

π \int x^{2} ∣ f^{'} (x) ∣ d x

,
siehe hier: de.wikipedia.org/wiki/Rotationsk%C3%B6rper

Dann hättest Du

π \int_{0}^{2} x^{2} \sqrt{2} \cdot \frac{3}{2} x^{1 / 2} d x

und das ist wirklich

\approx 21.5

backes aktiv_icon

17:16 Uhr, 01.10.2015

Okay, diese Formel war mir nicht bekannt, da wir eine Formelsammlung bekommen während der Klausur, habe ich mich nach der oben genannten Formel gerichtet.

Ich bin dir dankbar für deinen Vorschlag, wäre es jedoch möglich die Lösung mit der oberen Formel zu berechnen?

Roman-22

17:19 Uhr, 01.10.2015

>

Aber das scheint mir viel zu kompliziert zu sein, da wir so was auch gar nicht in der Vorlesung gesehen haben.

Mein Gott, was ist denn daran kompliziert?

y (x) = \sqrt{2 x^{3}}

nach

x (y) = 2^{- \frac{1}{3}} \cdot y^{\frac{2}{3}}

umzustellen, das sollte doch wirklich kein Mirakel sein.

Problematischer finde ich da schon das Bedürfnis, für die Umkehrung brav wieder

x

und

y

zu vertauschen, damit man nur ja wieder über

x

integrieren kann. Dabei werden wohl viele vergessen, dass die jetzigen x-Integralgrenzen früher eigentlich y-Werte waren. Man also hier NICHT von 0 bis 2 integrieren darf.

Viel sinnvoller wäre (abgesehen von der von DrBoogie vorgeschlagenen Formel)

V_{y} = π \cdot \int_{y_{1}}^{y_{2}} x^{2} (y) d y

zu verwenden.

Aus

x \in [0; 2]

wird dann durch einfaches Einsetzen

y \in [0; 4]

und

V_{y} = π \cdot 2^{- \frac{2}{3}} \cdot \int_{0}^{4} y^{\frac{4}{3}} d y = ... = \frac{48}{7} \cdot π \approx 21,542

sollte dann nicht mehr so schwierig sein.

R

DrBoogie aktiv_icon

17:27 Uhr, 01.10.2015

Ja, natürlich, und das ist nicht mal wesentlich anders.
Die

f^{- 1}

hast Du schon:

f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x^{2} / 2} = \frac{x^{2 / 3}}{\sqrt[3]{2}}

.

Also Du hast dann

π \int_{f (0)}^{f (2)} (\frac{x^{2 / 3}}{\sqrt[3]{2}})^{2} d x = π \int_{0}^{4} \frac{x^{4 / 3}}{\sqrt[3]{4}} d x = . . .

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