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Umkehrfunktion mehrere Variablen

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Tags: Funktionalanalysis, Umkehrfunktion

Nils120192 aktiv_icon

12:51 Uhr, 25.03.2018

Hallo ,

Ich habe eine Fage bzgl. Umkehrfunktionen mit folgendem Beispiel.
Gegeben sind 2 Preisabsatzfunktionen :

x 1 (p 1, p 2) = 150 - 4 p 1 + 2 p 2,

x 2 (p 1, p 2) = 300 + 2 p 1 - 4 p 2

Die Aufgabenstellung lautet:
1. Wie hoch ist Umsatz bei

90 x 1, 70 x 2

2. Gewinnmaximaler Umsatz

Mein Ansatz : normalerweise würde ich jewals die Umkehrfunktion der einzelnen Preisabsatz Funktionen bilden, diese dann mit

x 1

und

x 2

einzeln multiplizieren dann addieren um so an die Erlösfunktion

E (x 1, x 2)

zu kommen. Doch leider weiß ich nicht wie in dem Fall die Unkehrfunktion gebildet wird da diese nun von 2 Variablen abhängig ist.

Desweiteren frage ich mich wie sich eine Funktion verhält die 2 verschiedne Preisabstz Funktionen hat sprich :

P 1 (x 1, x 2) = 1150 - 0.5 x 1 + 2 x 2

P 2 (x 2) = 460 - 2 x 2

Lösung für die optimalen Mengen hier

x 1 = 0, x 2 = 0,

Ich hoffe jemand kann mir schnell helfen da ich morgen eine Klausur schreibe, und erst heute auf diesen Aufabentypen gestoßen bin.

Vielen Dank im
Voraus Nils

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Umkehrfunktion

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anonymous

13:24 Uhr, 25.03.2018

Hallo
"1. Wie hoch ist der Umsatz bei

90 x 1,

70x2"
Ich wage, vermuten zu dürfen, dass das heissen wollte:
Wie hoch ist der Umsatz bei

x_{1} = 90

x_{2} = 70

"normalerweise würde ich jewals die Umkehrfunktion der einzelnen Preisabsatz Funktionen bilden"
Ja ganz genau.
Du hast ein lineares Gleichungssystem

x_{i} = f (p_{i})

Und das musst du intertieren zum Gleichungssystem

p_{i} = f (x_{i})

Ich helfe dir mal:

x_{1} = 150 - 4 \cdot p_{1} + 2 \cdot p_{2}

x_{2} = 300 + 2 \cdot p_{1} - 4 \cdot p_{2}

4 \cdot p_{1} = 150 - x_{1} + 2 \cdot p_{2}

p_{1} = \frac{150 - x_{1} + 2 \cdot p_{2}}{4}

2 \cdot p_{1} = x_{2} - 300 + 4 \cdot p_{2}

p_{1} = \frac{x_{2} - 300 + 4 \cdot p_{2}}{2}

p_{1} = p_{1} = \frac{150 - x_{1} + 2 \cdot p_{2}}{4} = \frac{x_{2} - 300 + 4 \cdot p_{2}}{2}

150 - x_{1} + 2 \cdot p_{2} = 2 \cdot (x_{2} - 300 + 4 \cdot p_{2}) = 2 \cdot x_{2} - 600 + 8 \cdot p_{2}

750 - x_{1} - 2 \cdot x_{2} = 6 \cdot p_{2}

p_{2} = \frac{750 - x_{1} - 2 \cdot x_{2}}{6}

Meinst du, du bekommst das gleiche noch für

p_{1}

hin?
Das ist jetzt eigentlich nicht mehr schwer...
:-)

Nils120192 aktiv_icon

13:35 Uhr, 25.03.2018

Super vielen Dank für die schnelle Antwort. Ich rechne alles mal komplett durch und stelle meine Ergebnisse dann noch mal hier her. Vielen Dank. Jetzt ergibt es auch Sinn :-)

Nils120192 aktiv_icon

14:19 Uhr, 25.03.2018

Hi entschuldige die erneute Störung. Ich habe das jetzt mal durchgerechnet und dann die Werte für

x 1

sowie

x 2

eingesetzt doch leider stimmt das Endergebnis nicht. Ich habe im Anhang meine Rechnung beigefügt. Lg und vielen Dank :-)

anonymous

18:06 Uhr, 25.03.2018

Hallo
Nachdem ich meinen Kopf jetzt wieder zurückgerenkt hatte und die Kopfschmerzen jetzt ein wenig nachlassen, wage ich zu kommentieren:

a)

Ja, richtig, auch ich finde:

p 1 = \frac{600 - 2 \cdot x_{1} - x_{2}}{6}

p 2 = \frac{750 - x_{1} - 2 \cdot x_{2}}{6}

b)

Jetzt wird's unübersichtlich. Bitte gewöhn dir doch an, nicht nur irgendwelche Zahlen und Buchstaben ("E") hinzukullern, sondern auch dir und potenziellen Lesern zu erklären, was du darunter verstehst.

c)

Eine Teilaufgabe fordert, die Preise für

x_{1} = 90

x_{2} = 70

zu benennen.
Wie hoch sind denn nun die Preise?

d)

Jetzt bildest du irgendwelche "E's".
Ich vermute, das könnte der Umsatz sein, also

E_{i} = p_{i} \cdot x_{i}

Falls gemeint ist, Gesamt-Umsatz

E = p_{1} \cdot x_{1} + p_{2} \cdot x_{2}

dann ja, dann komme auch ich für

x_{1} = 90

x_{2} = 70

zu:

E = 11316,67

vermutlich

E = 11316,67

€

e)

Jetzt schreibst du irgendwie
"Richtiges Ergebnis:

10116.67

€ "
Ich weiß jetzt natürlich nicht, wie du dazu kommst und wieso du dies als "richtig" bezeichnest...

Nils120192 aktiv_icon

18:38 Uhr, 25.03.2018

Hallo,
entschuldige mein schnelles Werk. Ich werde im Anhang die Aufgabenstellung hinzufügen.
Laut den Lösungen der Aufgabe ergibt der Umsatz
für

x 1 = 90

und

x 2 = 70,

das Ergebnis

E (x 1, x 2) = 10116.76

Euro.
Die Aufgabenstellung :
„Wie groß ist der Umsatz wenn

x 1 = 90

und

x 2 = 70

verkauft werden ?“

Nils120192 aktiv_icon

18:49 Uhr, 25.03.2018

Anbei die Aufgabenstellung inklusive Lösung

anonymous

19:18 Uhr, 25.03.2018

Um systematisch vorzugehen, und uns besser abzugleichen,
wie lautet denn nun deine Antwort auf

c)

Nils120192 aktiv_icon

19:51 Uhr, 25.03.2018

(c)

wurde von mir noch nicht bearbeitet da das Ergebnis aus

(a)

für mich immer noch nicht klar ist.
Mein Ansatz wäre hier aber :
Es handelt sich hier um eine Einschränkung der Produktionsmenge.
Ich denke die sollte so aus sehen :

Nebenbedingung

: x 1 + x 2 = 125

Hier nun Lagrange anwenden mit der gegebenen Einschränkung.

L(x1,x2,£)=(-2x1^2-2x2^2-2x1x2+600x1+750x2)/6-£(x1+x2-125)

Diese Funktion jewals partiell differenzieren nach (x1,x2,£).
Ergebnisse dann in die Nebenbed. einsetzten um die optimalen Mengen

x 1, x 2

zu erhalten.

anonymous

23:32 Uhr, 25.03.2018

Sorry, Missverständnis.
Ich meine mein

c)

von

18 : 06 h

.
Wie hoch sind denn nun die Preise?

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