Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Umschreiben einer Funktion

Umschreiben einer Funktion

Schüler Gymnasiale Oberstufe,

Tags: Bruch umschreiben

Melflower aktiv_icon

18:31 Uhr, 22.03.2017

Hallo,
Ich möchte diesen Term

\frac{5 x}{x^{2} + 1}

integrieren. Nach umschreiben komme ich auf diese Funktion :

(5 x * (x^{2} + 1)^{- 1})

.Ab hier weiß ich nicht wie man das zusammenfassen soll...
Ich hatte diese Idee :

5 x * (x^{- 2} + 1

, jedoch ist diese Zusammenfassung falsch. Wie löst man diese Gleichung Bzw. Wie fasst man sie zusammen ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Roman-22

18:52 Uhr, 22.03.2017

Du hast im Zähler (fast) die Ableitung des Nenners stehen.
Wenn du die Regel

\int \frac{N' (x)}{N (x)} d x = ln (| N (x) |) + C

kennst, kannst du sofort die Lösung

\frac{5}{2} \cdot ln (x^{2} + 1) + C

hinschreiben (der Betrag ist hier nicht nötig).
Falls dir diese Regel nicht geläufig ist, kommst du ein wenig aufwändiger mit der Substitution

u (x) = x^{2} + 1

zum Ergebnis.

Melflower aktiv_icon

19:06 Uhr, 22.03.2017

Aber kann man den Term

5 x * (x^{2} + 1)^{- 1}

nicht noch weiter zusammenfassen?

Roman-22

19:10 Uhr, 22.03.2017

Kann man schon, aber nicht so, dass die Integration dadurch einfacher würde.

Du könntest zB

\frac{5 x}{x^{2} + 1} = \frac{5}{x + \frac{1}{x}} = 5 \cdot {(x + x^{- 1})}^{- 1}

schreiben, aber das hilft dir nichts beim integrieren.
Außerdem ist dieser neue Term nicht ganz gleichwertig dem ursprünglichen, weil er im Gegensatz zu diesem für

x = 0

nicht definiert ist.

Also lass den Term als

\frac{5 x}{x^{2} + 1}

stehen und substituiere, oder schreiben ihn um in

\frac{5}{2} \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 1}

und wende die oben genannte Regel an.

Melflower aktiv_icon

19:19 Uhr, 22.03.2017

Also wie würde das denn mit der Substitution funktionieren ? Ich habe das noch nie gemacht ....

ledum aktiv_icon

19:41 Uhr, 22.03.2017

Hallo
1. wenn du

x^{2}

integrieren kannst, kannst du doch auch

2 x^{2}

integrieren?
2. Was man immer wieder braucht

(ln (f (x))' = \frac{1}{f (x)} \cdot f' (x)

Wenn also im Zähler beinahe die Ableitung des Nenners steht, bis auf einen falschen Zahlender ist man fertig.
3
Wenn man das gar nicht sieht schreibt man Nenner=u, hier also

x^{2} + 1 = u; \frac{d u}{d x} = 2 x

oder 2x*dx=du
dann wird aus

5 \frac{x}{1 + x^{2}} d x = 5 \cdot \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2}

du=5/2*1/u du . was du integrieren kannst. am Ende wieder

u

durch

x^{2} + 1

ersetzen.
Gruß ledum

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1362272

1362251

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?