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Ungleichung mit 3 Beträgen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Ungleichung, zeichnen

Bokeni aktiv_icon

17:32 Uhr, 14.10.2019

Hallo,

dass ist die Ungleichung, die es zu lösen gilt:

| x | - | x - 1 | + | y | > 3

Meine Frage wäre, ob ich hier wirklich so viele Fallunterscheidungen machen muss oder ob es da einen eleganteren Weg gibt, den ich bis jetzt nicht gesehen habe.

Ich soll dann außerdem das Ergebnis noch Skizzieren.

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

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17:42 Uhr, 14.10.2019

Steht da wirklich

| y |

Bokeni aktiv_icon

17:45 Uhr, 14.10.2019

Ja da steht Betrag

y

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17:49 Uhr, 14.10.2019

Es gibt 3 Fälle:

- \infty < x < 0

0 \leq x < 1

x \geq 1

Bokeni aktiv_icon

17:55 Uhr, 14.10.2019

Könntest du mir erklären, wie ich die anderen Fälle ausschließe, also wieso ich nur 3 Fälle betrachten muss?

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18:03 Uhr, 14.10.2019

Sorry, ich hab

y

vergessen.

A) y < 0

- \infty < x < 0

0 \leq x < 1

x \geq 1

B) y \geq 0

analog

Es sind 6 Fälle, die eben viel gemeinsam haben beim Rechnen.
Im Fall

A : | y |

wird zu

- y

Im Fall

B : | y |

wird zu

y

Bokeni aktiv_icon

18:08 Uhr, 14.10.2019

Muss ich nicht für jeden Betrag alle Fälle durchgehen? Also 9 Fälle?

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18:12 Uhr, 14.10.2019

Es gibt 3 Fälle für

x

und 2 für

y

3 \cdot 2 = 6

ermanus aktiv_icon

18:23 Uhr, 14.10.2019

Betrachte nur

y \geq 0

, dann hast du 3 Fälle.
Zu der Menge, die du dann erhältst, musst du dann nur noch
ihr Spiegelbild bzgl. der

x

-Achse hinzufügen.
Gruß ermanus

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18:40 Uhr, 14.10.2019

O,ermane, wenn wir dich nicht hätten!
Der Laie neigt wieder einmal sein Haupt vor dem Profi.
Du bist echt klasse! :-)

ermanus aktiv_icon

19:01 Uhr, 14.10.2019

@supporter: vielen Dank, zu viel der Ehre! Ich denke aber in der Tat,
dass MathestudentInnen sich Mengen möglichst immer auch
geometrisch / visuell vorstellen sollten. Das zahlt sich aus ...
Gruß ermanus

Bokeni aktiv_icon

19:23 Uhr, 14.10.2019

Ich glaube ich muss bei den Ungleichungen an einer anderen Stelle einhaken, weil ich grade nicht mitkomme. Ich denke es liegt auch daran, dass hier zwei Variablen verwendet werden.

Wenn ich nur

y \geq 0

betrachten soll, dann heißt das ich soll so anfangen

\to

| x | - | x - 1 | + y > 3

oder?

Dann schau ich mir die Fälle von

| x | \geq 0

an und müsste doch auch das negative anschauen oder nicht?

\to x - | x - 1 | + y > 3

und einmal

- x - | x - 1 | + y > 3

und dann daraus nochmal die beiden Fällen für

| x - 1 |

oder was genau verstehe ich nicht?

ermanus aktiv_icon

20:26 Uhr, 14.10.2019

Hallo,

supporter hat dir ja die 3 Fälle genannt:

1.

x < 0 : ∣ x ∣ = - x, ∣ x - 1 ∣ = - x + 1

,
2.

0 \leq x < 1 : ∣ x ∣ = x, ∣ x - 1 ∣ = - x + 1

,
3.

x \geq 1 : ∣ x ∣ = x, ∣ x - 1 ∣ = x - 1

Gruß ermanus

Bokeni aktiv_icon

20:50 Uhr, 14.10.2019

Hallo, danke für die Rückmeldung. Leider verstehe ich nicht wie man auf die Fälle kommt und wie ich darauf auf eine Form von

y \geq \frac{1}{2} x

oder sowas kommen soll, damit ich das dann zeichnen kann

ermanus aktiv_icon

21:07 Uhr, 14.10.2019

Das

x

∣ x ∣

wechselt in

x = 0

das Vorzeichen.
Das

x - 1

∣ x - 1 ∣

wechselt in

x = 1

das Vorzeihen.

Also gibt es drei Abschnitte, die durch

0

und

1

voneinander getrennt sind.

Das werde ich nun nicht weiter erklären. Wenn du es nicht verstehst,
solltest du darüber nochmal gründlich nachdenken ...

Ich zeige dir nun, wie die Fälle

x < 0

und

0 \leq x < 1

weitergehen.

Im Intervall

x < 0

ist

∣ x ∣ - ∣ x - 1 ∣ + y = - x - (- x + 1) + y = - 1 + y > 3

, also

y > 4

Im Intervall

0 \leq x < 1

hast du

∣ x ∣ - ∣ x - 1 ∣ + y = x - (- x + 1) + y = 2 x - 1 + y > 3

, also

y > . . .

rundblick aktiv_icon

21:11 Uhr, 14.10.2019

.
" Leider verstehe ich nicht wie Mann auf die Fälle kommt "

\to

Tipp: schlag die Def. von

| a |

nach

\to .

| a | = a

..wenn

a \geq 0 .

. und

| a | = - a

..wenn

a < 0

.. und wende das nun bei deiner Ungleichung zur Fallunterscheidung an

\to

| x | - | x - 1 | + | y | > 3 ...

. oder

. .

| y | > 3 + | x - 1 | - | x |

@ Bokeni
mir scheint, du solltest über die Antworten von ermanus noch genauer nachdenken..

also: ist dir zB klar geworden,
dass die gesuchten Lösungspunkte

P (x; y)

ganze

\to

Gebiete in der x-y-Ebene füllen werden ?

als Beispiel: welche Punktmenge im zweiten Quadranten erfüllt die Ungleichung

\to

also: für Punkte

P (x; y)

im zweiten Quadranten gilt

y \geq 0

UND

x \leq 0

und die Ungleichung für diese Punkte sieht dann so aus

\to

y > 3 - (x - 1) + x = 4 . .

. und

y \geq 0 . .

. da also hier sogar

y > 4

ist
sind alle Punkte oberhalb der Geraden

y = 4

und links der Geraden

x = 0

erster Teil deiner Lösungsmenge
(und du kannst diesen Teil des Lösungs-Gebietes schon mal beginnen bunt auszumalen :-) .. )

und nun mach selbst entprechend die Untersuchung für Punkte im I.Quadranten
also

y \geq 0

und die Fälle 2. und 3. für

x

(welche Flächen kannst du dann jetzt auch noch anmalen?)

und nebenbei:
es gibt ja auch noch die Qaudranten III und IV

. .

. da ist dann

y \leq 0

usw, usw..

also: wie sieht dein buntes Gesamtbild am Schluss dann aus ?
denn du schreibst ja oben noch:
"Ich soll dann außerdem das Ergebnis noch Skizzieren."

oh sehe gerade, dass ermanus inzwischen auch wieder online ist .. also sorry wg. der Einmischung
.

ermanus aktiv_icon

21:13 Uhr, 14.10.2019

Hallo rundblick, kannst gerne mitmischen, muss ohnehin offline gehen ;-)

rundblick aktiv_icon

22:22 Uhr, 14.10.2019

.
"kannst gerne mitmischen.."

nett von dir, ermanus -
aber leider scheint unser "Student überfordert weggetreten ? ..traurig .. traurig..
.

Bokeni aktiv_icon

22:52 Uhr, 14.10.2019

Hallo, danke für deine Antwort. Ich stehe leider bei dieser Ungleichung auf dem Schlau und wollte erst wieder Antworten, wenn ich eine Frage stellen kann, bei der ich selber weiß an welcher Stelle es brennt, aber ich kann nicht genau nachvollziehen wie man die Fälle konstruiert.

Mal bin auch auf

y > 2

gekommen mal auf

- 4 > y

indem ich einfach alle Beträge mal weggelassen habe und dann man alle Beträge negativ aufgelöst habe, aber was genau ich da tue, dass weiß ich selber leider nicht.

Respon

23:28 Uhr, 14.10.2019

Vielleicht brigt's was wenn wir nochmals zusammenfassen, was oben schon mehrfach ausgeführt wurde.

| y | > 3 - | x | + | x - 1 |

1) y \geq 0 \Rightarrow | y | = y \Rightarrow y > 3 - | x | + | x - 1 |

a) x < 0 \Rightarrow | x | = - x; | x - 1 | = - x + 1 \Rightarrow y > 3 + x - x + 1 \Rightarrow y > 4

b) 0 \leq x < 1 \Rightarrow | x | = x; | x - 1 | = - x + 1 \Rightarrow y > 3 - x - x + 1 \Rightarrow y > - 2 \cdot x + 4

c) x \geq 1 \Rightarrow | x | = x; | x - 1 | = x - 1 \Rightarrow y > 3 - x - x - 1 \Rightarrow y > 2

2) y < 0 \Rightarrow

Siehe Hinweis weiter oben bezüglich Symmetrie.

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