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Ungleichung mit Wurzel

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Sonstiges

Tags: Auflösen, Gesetz, Ungleichung, Wurzel

Gamato aktiv_icon

18:28 Uhr, 04.10.2010

Hallo,

Ich besuche momentan die Hochschule in Neubrandenburg und habe große Probleme bei dem Lösen einer Ungleichung. Ich bin eigentlich sehr gut in Mathe und weiß echt nicht woran es liegt. Ich denke ich mache Fehler beim Umformen! Die Lösung habe ich bereits, da ich den CAS die Ungleichung lösen lassen kann. Ich möchte diese Aufgabe jedoch auch verstehen!

Diese Aufgabe gilt zu berechnen. Ich soll allgemein alle reele Zahlen

x

angeben, welche diese Ungleichung erfüllen:

\frac{\sqrt{x + 4}}{x} < 1

Hier zu meinen Überlegungen:
Ungleichung auf 0 bringen:

\frac{\sqrt{x + 4}}{x} - 1 < 0

ganz rational machen:

\sqrt{x + 4} - x < 0

Wurzel "wegmachen":

x + 4 - x^{2} < 0

So.. und eigentlich geht die Rechnung seit dem "ganzrational" machen schon nicht mehr!
Wenn ich mir die reellen zahlen ausrechnen lasse, komme ich auf:

x - 4 \leq x < 0

oder

x > \frac{\sqrt{17} + 1}{2}

Bei den anderen Vereinfachungen schon nicht mehr!

: (

Mir geht es halt darum das rechnerisch nachzuweisen.. ansonsten kann man sich ja auch manche sachen ein wenig im kopf erdenken durch Testeinsetzen und Näherungsverfahren

\frac{:}{}

Ich würde mich sehr darüber freuen wenn einer mit mir zusammen diese Aufgaben einmal durchrechnet. mich aber mit einbezieht in seinen Gedankengang! :-)

Mit freundlichem Gruß

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
n-te Wurzel
Wurzel (Mathematischer Grundbegriff)

Mauthagoras aktiv_icon

19:32 Uhr, 04.10.2010

Hallo,

bei solchen Ungleichungen ist es wichtig, eine Fallunterscheidung zu machen; ansonsten könnte sogar eine „Ganzrationalmachung“ falsch sein.
Mein Vorschlag wäre:
1.Fall:

x < 0

. Dann ergibt sich

\sqrt{x + 4} > x

. Dieser Fall ist damit eigentlich schon abgeschlossen. Warum?
2.Fall:

x > 0

. Dann ergibt sich

\sqrt{x + 4} < x

. Um zu sehen, bei welchem

x

diese Ungleichung kippt, also vor oder hinter welcher Grenze sie gilt, löse

\sqrt{x + 4} = x

. Was ergibt sich dabei?
3. Fall:

x = 0

. Dieser Fall existiert nicht. Warum?

Gamato aktiv_icon

19:54 Uhr, 04.10.2010

Also die Fallunterscheidung leuchtet ein. So bin ich noch gar nicht an die Sache rangegangen...
1.Fall:

x < 0

. Also ich denke

x

muss kleiner 0 sein, da ja sonst Divison durch

0!

und das ist nicht defineirt lauft aufgabenstellung! Andersrum gesehen muss

x \geq - 4

sein, da sonst eine negative Wurzel enstehen würde.. das ist wieder nicht definiert..
Also:

- 4 = < x < 0

2.Fall:

x > 0

. Bei diesem Fall habe ich noch Probleme

: (

3. Fall:

x = 0

. Nicht lösbar, weil:

\frac{x}{0} \Rightarrow

geht nicht wegen Division durch 0

Mauthagoras aktiv_icon

20:05 Uhr, 04.10.2010

Ja, okay, was sagt uns der 1. Fall zur Lösung?

2.Fall: Bekommst Du die Gleichung nicht nach

x

umgeformt oder verstehst Du meinen Lösungsvorschlag nicht?
3.Fall: Genau.

Gamato aktiv_icon

20:17 Uhr, 04.10.2010

Also wie ich schon gesagt habe: Die Lösung müsste sein:

- 4 = < x < 0

Also alle reele Zahlen zwischen

- 4 (- 4

mit einngeschlossen) und null (null nicht mehr mit eingeschlossen!)

2.Fall: Naja sieht für mich aus nach ner audratischen Gleichung dann.. also umstellen würde ich es folgender maßen:

x + 4 = x^{2}

0 = x^{2} - x - 4

Dann Nulstellen berechnen und das "=" Zeichen mit einem ">" ersetzen.

Mauthagoras aktiv_icon

20:22 Uhr, 04.10.2010

Bevor Du

=

ersetzt, musst Du schauen, welches Relationszeichen gilt. Und zwar hat die Gleichung 2 Lösungen, eine ist irrelevant, weil

x > 0

. Schriftlich:

\sqrt{x + 4} = x \overset{x > 0}{\Leftrightarrow} 0 = x^{2} - x - 4 \overset{x > 0}{\Leftrightarrow} x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{17}

Jetzt musst Du testen, welches Zeichen gilt. Das ergibt:
Die Ungleichung gilt für

x > \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{17}

.
Deine Lösung stimmt also. Ich wollte nur nochmal das Formale vollständig klarstellen.

Gamato aktiv_icon

20:26 Uhr, 04.10.2010

Das mit dem Relationszeichen verstehe ih noch nicht ganz .. kannst du mir das nochmal kurz erklären?

Mauthagoras aktiv_icon

20:30 Uhr, 04.10.2010

Na klar. Wir haben rausbekommen, dass die Gleichung für

x = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{17}

gilt. (Am besten stellst Du Dir die beiden (Un)Gleichungsseiten jeweils als Funktion vor.) Das bedeutet, dass unsere Ungleichung entweder links oder rechts von dieser Grenze gilt. Dafür brauchst Du dann nur einen Testwert einzusetzen, um es genau zu wissen, z.B.

x = \frac{1}{2}

.

Die Lösungsmenge ist dann:

L = [- 4, 0) \cup (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{17}, \infty)

Gamato aktiv_icon

20:47 Uhr, 04.10.2010

Achsooo! :-) Jetzt verstehe ich...

Hmm.. gehe ich das mal mit dergleichen Ungleichung vor, bloß mit anderen Zahlenwerten:

\frac{\sqrt{x + 2}}{x} < 1

Wieder Fallbetrachtung:
1.Fall:

x < 0,

darauas ergibt sich

\sqrt{x + 2} > x

. Die reelen Zahlen müssen auf alle Fälle schonmal kleiner als 0 sein, da die Division durch 0 nicht lösbar ist.

(\Rightarrow

grundgleichung) Andersrum gesehen darf der X-wert nicht kleiner als

- 2

werden, da der Radikant sonst negativ wird

\Rightarrow

negative Wurzel nur in

D \in C,

hier aber:

D \in R

. Also leite ich ab:

- 2 \leq x < 0

2.Fall:

x > 0,

dann ergibt sich

\sqrt{x + 2} < x,

um das genauer in Betrahct zu ziehen mache ich daraus erstmal eine Gleichung:

\sqrt{x + 2} = x

. Diese Forme ich um durch quadrierung und anschließendes Subtrahieren.

\Rightarrow x + 2 = x^{2} \Rightarrow 0 = x^{2} - x - 2

Diese Gleichung löse ich mithilfe der quadratischen Lösungsformel:

x 1,2 = 0,5 \pm \sqrt{0,25 + 2} \Rightarrow x 1 = 0,5 + 1,5 = 2

und

x 2 = 0,5 - 1,5 = - 1

- 1

sowieso schon in Betracht gezogen wurde mit Fall

1,

sehe ich mir nur noch die erste Nullstelle an. Die Frage ist ob

x < 2

oder

x > 2

. Da wir von

x > 0

ausgegangen sind, ersetze ich das "=" mit dem ">" Operator und ich erhalte:

x > 2

3.Fall:

x = 0,

diesen Fall kann ich von Anfang ausser Betracht ziehen, da ich diesen schon in Fall1 ausgeschlossen habe

(\Rightarrow

Dividion durch

0)

Aus diesen 3 Fällen erhalte ich folgenden Definitionsbereich der reelen zahlen für die dei ungleichung

\frac{\sqrt{x + 2}}{x} < 1

gilt:

- 2 = < x < 0

und

x > 2, x \in R {/ 0}

Ist das soweit in Ordnung? doer wo ist noch was von der Formulierung oder Rechnung auszusetzen? :-)

Mauthagoras aktiv_icon

21:00 Uhr, 04.10.2010

Ja, das ist gut. Nur noch eine kleine Sache: Die Frage, ob

x < 2

oder

x > 2

muss genauer beantwortet sein. Setze in die Gleichung zwei Beispiele ein, eins kleiner und eins größer als

2

ein, das ist Beweis genug:
Die UGL mit

x = 1

\sqrt{3} < 1

Widerspruch.

x = 3

\frac{\sqrt{5}}{3} < 1

wahr. Also gilt

x > 2

.
Die Lösungsmenge sind alle

x \in ℝ

mit

- 2 \leq x < 0

oder

x > 2

. Passe mit „und“ bzw. „oder“ auf.

Auf jeden Fall hast Du das Prinzip gut verstanden. Sehr schön!

Gamato aktiv_icon

21:04 Uhr, 04.10.2010

Dann bedanke ich mich mehr als nur vielmals bei dir :-)
Du hast mir sehr geholfen bei dem herangehen an solchen aufgaben :-)

Liebe Grüße und weiter so! :-)

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