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Unterschied unimodale Funktion, konvexe Funktion

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Tags: konvex, unimodal, Zugehörigkeitsfunktionen

 
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Sirveyor

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15:10 Uhr, 31.10.2007

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Was ist der Unterschied zwischen einer konvexen Funktion und einer unimodalen Funktion?
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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LouPaw

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15:00 Uhr, 03.03.2021

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Für alle anderen die das auch wissen wollen: Strikt konvex impliziert strikt unimodal, strikt konvex ist also die stärkere Bedingung.
Konvex ist so definiert, dass alle Verbindungslinien von zwei Punkten auf der Funktion über der betrachteten Funktion liegen müssen. Wikipedia:
Eine Funktion f:C→ ℝ heißt konvex, wenn für alle x,y aus C und für alle θ∈[0,1] gilt, dass:
f(θx+(1-θ)y)≤θf(x)+(1-θ)f(y)
bzw strikt konvex, wenn: f(θx+(1-θ)y)<θf(x)+(1-θ)f(y).

Unimodal auf einem Intervall [a,b] bedeutet hingegen nur, dass die Funktion für ein mε(a,b) für x<m streng monoton fällt, und für x>m streng monoton steigt (bzw andersherum), also einfach, dass die Funktion ein Minimum (bzw Maximum) hat.

Im Bild ist zu erkennen, wieso strikt konvex die stärkere Bedingung ist.


unterschied unimodal & konvex
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