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Urbild einer Kreisscheibe unter Funktion

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Komplexe Zahlen

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis, Komplexe Zahlen

PhysikKatze aktiv_icon

14:13 Uhr, 08.11.2022

Hallo,

ich habe folgende Aufgabe:
"Sei

T (z) = z / (z + 1)

Finden Sie das Urbild der Kreisscheibe

{z \in ℂ ∣ ∣ z ∣ < 1 / 2}

unter T und skizzieren Sie dieses."

Mein Ansatz:
Ich habe zuerst T umgeschrieben, als:

T (z) = 1 / 1 + (1 / z)

Anschließend habe ich die Umkehrfunktion von T gefunden, als:

T^{- 1} (z) = 1 + 1 / z

Jetzt komme ich aber nicht mehr weiter. Wie wende ich diese Abbildung auf meine Kreisscheibe an, um herauszufinden, wie das Urbild aussieht?

Vielen Dank und liebe Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

HAL9000

14:16 Uhr, 08.11.2022

Du hast jetzt nicht ernsthaft

\frac{z}{z + 1} \overset{? ? ?}{=} \frac{1}{1} + \frac{1}{z}

umgeformt ? Eine Runde Schämen bitte.

PhysikKatze aktiv_icon

14:18 Uhr, 08.11.2022

Sorry, ich habe die Klammern falsch gesetzt. Es steht

1 + \frac{1}{z}

im Nenner und 1 im Zähler, also

\frac{1}{1 + \frac{1}{z}}

HAL9000

14:24 Uhr, 08.11.2022

Hmm, aber wie willst du weiter machen? Ich würde so vorgehen:

∣ \frac{z}{z + 1} ∣ < \frac{1}{2}

bedeutet umgeformt

2 ∣ z ∣ < ∣ z + 1 ∣

und quadriert mit

z = a + i b

bedeutet das

4 (a^{2} + b^{2}) < {(a + 1)}^{2} + b^{2}

3 a^{2} - 2 a - 1 + 3 b^{2} < 0

{(a - \frac{1}{3})}^{2} + b^{2} < {(\frac{2}{3})}^{2}

Und was das geometrisch ist, erkennst du doch sicher?

PhysikKatze aktiv_icon

14:30 Uhr, 08.11.2022

Ja, jetzt habe ich es verstanden. Danke :-)

PhysikKatze aktiv_icon

14:32 Uhr, 08.11.2022

Wobei, noch eine kleine Frage: Wäre das was du berechnet hast nicht das Bild der Kreisscheibe unter T? Ich brauche das Urbild

HAL9000

14:34 Uhr, 08.11.2022

Das IST das Urbild!!! Ein-, zweimal nachdenken vor dem Posten wäre wünschenswert.

PhysikKatze aktiv_icon

14:37 Uhr, 08.11.2022

Tut mir Leid, dass du scheinbar einen schlechten Tag hattest. Du musst mich aber nicht dafür angehen, dass ich gerne etwas lernen würde, in dem ich noch nicht so erfahren bin.

HAL9000

14:38 Uhr, 08.11.2022

Wenn du mich quasi als blöd abstempelst, dass ich den Unterschied zwischen Bild und Urbild nicht unterscheiden kann, dann kann ich doch wohl auch etwas deutlich werden.

PhysikKatze aktiv_icon

14:39 Uhr, 08.11.2022

Ich habe gefragt(!), ob es nicht anders ist, weil ich(!) das anscheinend noch nicht verstanden habe. In keinem Wort, habe ich dir unterstellt "dumm" zu sein.

HAL9000

14:47 Uhr, 08.11.2022

Anscheinend gibt es inhaltlich nichts mehr zu sagen, und die Rumdiskutiererei mit Deinesgleichen (einerseits zart besaitet, aber andererseits kräftig austeilend) bin ich leid.

Sukomaki aktiv_icon

17:20 Uhr, 08.11.2022

Hallo,

Ich schreibe mal, wie ich die Aufgabe verstehe :

T (z) = \frac{z}{z + 1}

Um das Urbild zu finden, bestimme ich die Umkehrfunktion von

T

T^{- 1} (z) = \frac{z}{1 - z}

Die Probe ergibt

T (T^{- 1} (z)) = z

T (T^{- 1} (z)) = \frac{T^{- 1} (z)}{T^{- 1} (z) + 1} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{\frac{z}{1 - z} + 1} = \frac{\frac{z}{1 - z}}{\frac{z + 1 - z}{1 - z}} = \frac{z}{1 - z} \cdot \frac{1 - z}{z + 1 - z} = \frac{z}{1} = z

T

ist eine Möbiustransformation. D.h. Kreisscheiben werden auf Kreisscheiben abgebildet.

Bei der Aufgabenstellung bietet es sich an, Polarkoordinaten zu verwenden.

In dieser Darstellung ist

z = r \cdot e^{i φ}

Somit ist

\frac{z}{1 - z} = \frac{r \cdot e^{i φ}}{1 - r \cdot e^{i φ}} = \frac{r}{e^{- i φ} - r} = \frac{1}{\frac{1}{r} \cdot e^{- i φ} - 1}

Jetzt ist es so, dass

\frac{1}{\frac{1}{r} \cdot e^{- i φ} - 1}

für

r = \frac{1}{2}

(also

\frac{1}{2 \cdot e^{- i φ} - 1}

)einen Kreis bildet, der alle kleineren Kreise beinhaltet.

Die Skizzen zeigen vier beispielhafte Kreise (Bild1) und die gefüllte Scheibe (Bild2).

Gruß
Sukomaki

PhysikKatze aktiv_icon

17:46 Uhr, 08.11.2022

Vielen Dank!

HAL9000

19:23 Uhr, 08.11.2022

T

ist eine Möbiustransformation. D.h. Kreisscheiben werden auf Kreisscheiben abgebildet.

Wenn das bereits verwendet werden darf... Andernfalls ist eigentlich noch nachzuweisen, dass

\frac{1}{\frac{1}{r} e^{- i φ} - 1}

tatsächlich einen Kreis darstellt.

Sukomaki aktiv_icon

11:07 Uhr, 09.11.2022

Unter der Voraussetzung, dass

\frac{1}{\frac{1}{r} \cdot e^{- i φ} - 1} = m + s \cdot e^{i ψ}

ein Kreis ist, folgt mit einigen Umformungen, dass

m = \frac{1}{2} (\frac{1}{\frac{1}{r} \cdot e^{- i 0} - 1} + \frac{1}{\frac{1}{r} \cdot e^{- i π} - 1}) = \frac{r^{2}}{1 - r^{2}}

und

s = \frac{1}{2} (\frac{1}{\frac{1}{r} \cdot e^{- i 0} - 1} - \frac{1}{\frac{1}{r} \cdot e^{- i π} - 1}) = \frac{r}{1 - r^{2}}

.

Erklärung : Der Mittelpunkt

m

von

m + s \cdot e^{i ψ}

liegt in der Mitte zwischen linkem und rechtem Randpunkt und der Radius

s

ist gerade der halbe Durchmesser (also rechter mit linker Randpunkt)

Ich melde mich wieder, wenn ich mehr weiß.

Sukomaki aktiv_icon

11:46 Uhr, 09.11.2022

Also,

der Radius des zentrierten Kreises ist

∣ \frac{1}{\frac{1}{r} \cdot e^{- i φ} - 1} - \frac{r^{2}}{1 - r^{2}} ∣

.

Damit ist

∣ \frac{r (r \cdot e^{- i φ} - 1)}{(e^{- i φ} - r) (r^{2} - 1)} ∣ = \frac{r}{1 - r^{2}} = s

Numerisch stimmt das so (mehrere Tests), aber ich bekomme das nicht umgeformt.

Wenn es aber so wäre, wäre bewiesen, dass

\frac{1}{\frac{1}{r} \cdot e^{- i φ} - 1}

ein Kreis ist.

Aktuell bleibt es übrig zu zeigen, dass

∣ - e^{i φ} + r ∣ = ∣ - e^{- i φ} + r ∣

Ok, das ist das Gleiche wie

\sqrt{(- \cos (φ) + r)^{2} + (- \sin (φ))^{2}} = \sqrt{(- \cos (φ) + r)^{2} + \sin (φ)^{2}}

Das ist eine wahre Aussage.

q.e.d.

\Rightarrow \frac{1}{\frac{1}{r} \cdot e^{- i φ} - 1}

ist ein Kreis.

HAL9000

12:32 Uhr, 09.11.2022

Ja, man kann natürlich rechnen

\frac{1}{\frac{1}{r} e^{- i φ} - 1} - \frac{r^{2}}{1 - r^{2}} = \frac{r}{1 - r^{2}} \cdot \frac{(1 - r^{2}) - r (e^{- i φ} - r)}{e^{- i φ} - r} = \frac{r}{1 - r^{2}} \cdot \frac{1 - r e^{- i φ}}{e^{- i φ} - r}

Vom rechten Faktor den Betrag ausgerechnet bekommt man leicht den Wert 1 (Betragsquadrat von Zähler wie Nenner ist jeweils gleich

r^{2} - 2 r \cos (φ) + 1

), d.h. die Punkte liegen tatsächlich auf dem genannten Kreis. Dass auch der gesamte Kreis erfasst wird, kann man womöglich am besten einsehen, wenn man umgekehrt das Bild dieses gesamten Kreises

m + s e^{i ψ}

unter Abbildung

T

anschaut, mit sehr ähnlicher Rechnung. Der Zusammenhang der Winkel

φ

und

ψ

ist (zumindest für die meisten)

r

allerdings nichtlinear.

Sukomaki aktiv_icon

13:03 Uhr, 09.11.2022

> Der Zusammenhang der Winkel

φ

und

ψ

ist (zumindest für die meisten)

r

allerdings nichtlinear

Hast Du da ein Beispiel für?

Hängen die Winkel dort über

\sqrt{1 - \frac{1}{φ^{2}}}

\ln (φ)

oder

\arctan (φ)

zusammen oder wie?

Ich kann mir nämlich nichts darunter vorstellen.

HAL9000

14:59 Uhr, 09.11.2022

Naja, du kannst das ja konsequent zuende rechnen: Es ist

e^{i ψ} = \frac{1 - r e^{- i φ}}{e^{- i φ} - r} = \frac{(1 - r e^{- i φ}) (e^{i φ} - r)}{(e^{- i φ} - r) (e^{i φ} - r)} = \frac{e^{i φ} - 2 r + r^{2} e^{- i φ}}{1 - 2 r \cos (φ) + r^{2}}

.

Nach Real- und Imaginärteil des Zählers aufgesplittet bekommt man damit

ψ = g (φ) = atan2 ((1 - r^{2}) \sin (φ), (1 + r^{2}) \cos (φ) - 2 r)

, das kannst du dir ja mal für diverse

0 < r < 1

plotten lassen. Sollte im Definitionsbereich

(- π, π)

stetig und streng monoton wachsend sein mit

lim_{φ \to - π + 0} g (φ) = - π

g (0) = 0

sowie

lim_{φ \to π - 0} g (φ) = π

.

Ob man noch eine substanziell einfachere Darstellung für

g

findet, wage ich zu bezweifeln (jedenfalls für allgemeines

r

Sukomaki aktiv_icon

16:39 Uhr, 09.11.2022

Ich habe kurz überlegt, wie Du auf

e^{i ψ} = \frac{1 - r \cdot e^{- i φ}}{e^{- i φ} - r}

kommst.

Aber jetzt ist es mir klar :

Es ist ja

\frac{1}{\frac{1}{r} \cdot e^{- i φ} - 1} = m + s \cdot e^{i ψ}

m = \frac{r^{2}}{1 - r^{2}}

und

s = \frac{r}{1 - r^{2}}

einsetzen und nach

e^{i ψ}

auflösen.

Et voilà :

e^{i ψ} = \frac{1 - r \cdot e^{- i φ}}{e^{- i φ} - r}

Dann habe ich das jetzt verstanden.

atan2 kenne ich nicht.

Ist

a t a n 2 ((1 + r^{2}) \cos (φ) - 2 r, (1 - r^{2}) \sin (φ))

das Gleiche wie

\arg ((1 + r^{2}) \cos (φ) - 2 r + i \cdot (1 - r^{2}) \sin (φ))

?

Wenn dem so ist, würde nämlich der Plot dem von Dir beschriebenen Verhalten entsprechen.

Für

r \to 0

ähnelt die Funktion immer mehr der Identität.

Und für

r = 1

ist die Funktion konstant

π

.

Kommst Du zu dem gleichen Schluß?

HAL9000

17:04 Uhr, 09.11.2022

Ja,

atan2 (y, x)

ist das Argument der komplexen Zahl

x + i y

(bei Microsoft Excel ist allerdings die Argumentreihenfolge

x, y

statt

y, x

)

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