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Vektor- Pyramide Volumen berechnen

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Tags: Pyramide, Vektor, volum

tegharin34 aktiv_icon

23:59 Uhr, 08.12.2021

Hallo vielleicht kann jemand helfen.
Es soll das Volumen der Pyramide MBTS berechnet werden.

M = (4,2, \frac{1}{2}) B (3,4,1) T (1,4, (- 1)) S (3,2,5)

Mein Ansatz wäre, da es nur eine dreiseitige Pyramide ist,

\frac{1}{6} \cdot ((a

kreuz

b)) \cdot c

zu rechnen
Hier im Beispiel wäre es; 1/6((TM kreuz TB))

\cdot

TS

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)
Kugel (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Kartoffelchipsman aktiv_icon

01:20 Uhr, 09.12.2021

\int_{0}^{\frac{(a \times b) \cdot c}{| a \times b |}} {(x \cdot \frac{| a \times b |}{(a \times b) \cdot c})}^{2} \cdot \frac{| a \times b |}{2} \cdot d x

= \int_{0}^{\frac{(a \times b) \cdot c}{| a \times b |}} x^{2} \cdot \frac{{| a \times b |}^{2}}{{((a \times b) \cdot c)}^{2}} \cdot \frac{| a \times b |}{2} \cdot d x

= \frac{1}{3} \cdot x^{3} \cdot \frac{{| a \times b |}^{2}}{{((a \times b) \cdot c)}^{2}} \cdot \frac{| a \times b |}{2} |_{0}^{\frac{(a \times b) \cdot c}{| a \times b |}} = \frac{(a \times b) \cdot c}{6},

also

V = \frac{| (a \times b) \cdot c |}{6}

mit

z . B

a := B - M, b := T - M, c := S - M

Respon

10:58 Uhr, 09.12.2021

@tegharin34
Das ist korrekt.
Die Basis dieser Aufgaben bildet das Parallelepiped, also eine geometrischen Körper, der von sechs paarweise kongruenten (deckungsgleichen) in parallelen Ebenen liegenden Parallelogrammen begrenzt wird ( Prisma mit einem Parallelogramm als Grundfläche ) und dessen Volumen mit dem "Spatprodukt" berechnet wird.
Abgeleitet davon lassen sich auch andere Körper berechnen, es kommt dann jeweils ein Vorfaktor dazu.
Dreiseitiges Prisma

: \frac{1}{2}

Vierseitige Pyramide

: \frac{1}{3}

Dreiseitige Pyramide

: \frac{1}{6}

( Das Ergebnis sollte

V = \frac{11}{3}

VE sein )

tegharin34 aktiv_icon

18:23 Uhr, 09.12.2021

also 1/3*(den Betrag des Kreuzproduktes aus BM Kreuz MT)

\cdot

die höhe

Respon

18:32 Uhr, 09.12.2021

"also

\frac{1}{3} \cdot

(den Betrag des Kreuzproduktes aus BM Kreuz MT)

\cdot

die höhe "
???
Was meinst du damit ?

Kartoffelchipsman aktiv_icon

21:13 Uhr, 09.12.2021

V = \frac{| < a \times b, c > |}{6}

(siehe Formelsammlung oder Wikipedia,

Stichworte "Kreuzprodukt" und "Standardskalarprodukt")

mit

a, b, c

wie oben erwähnt,

z . B

a := B - M = (\begin{matrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ \frac{1}{2} \end{matrix})

tegharin34 aktiv_icon

02:52 Uhr, 11.12.2021

Ich hatte

T

oben falsch angegeben
Jedenfalls

T (\frac{5}{2}, 2, \frac{3}{2})

Aus den Punkten hab ich dann die Vektoren BM und MT gebildet

BM kreuz MT und das Ergebnis im Betrag

\cdot \frac{1}{2}

genommen

: 3,614

FE

Dann ganz normal

V : \frac{1}{3} \cdot G \cdot H

die Höhe bereits errechnet

(3,18)

Alles eingesetzt kam

1,91542

raus

Kartoffelchipsman aktiv_icon

03:59 Uhr, 11.12.2021

\frac{| < (B - M) \times (T - M), S - M > |}{6}

= \frac{| < (\begin{matrix} 3 - 4 \\ 4 - 2 \\ 1 - \frac{1}{2} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} \frac{5}{2} - 4 \\ 2 - 2 \\ \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \end{matrix}), (\begin{matrix} 3 - 4 \\ 2 - 2 \\ 5 - \frac{1}{2} \end{matrix}) > |}{6}

= \frac{| < (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ \frac{1}{2} \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - \frac{3}{2} \\ 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ \frac{9}{2} \end{matrix}) > |}{6}

= \frac{| < (\begin{matrix} 2 \\ \frac{1}{4} \\ 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ \frac{9}{2} \end{matrix}) > |}{6}

= \frac{| - 2 + \frac{27}{2} |}{6} = \frac{23}{12} \approx 1,917

tegharin34 aktiv_icon

21:17 Uhr, 11.12.2021

die kleine Abweichung wird wohl am runden liegen bei mir. Jedoch das Prinzip ist klar, vielen dank

1547041

1546818

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