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Vektoren Koordinaten bestimmen

Schüler Gymnasium,

Tags: Koordinaten, Vektor, Würfel

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15:36 Uhr, 06.04.2014

Hallo, ich komm bei einer Aufgabe nicht weiter. Bei der Aufgabe muss ich die fehlenden Koordinaten eines Würfels bestimmen.
Ich muss die Koordinaten von

C, D, E, F

und

H

rausbekommen. A,Bund

G

sind angegeben.

A (3 | 2 | 1)

B (3 | 6 | 1)

G (- 1 | 6 | 5)

Aber leider weiß ich gar nicht mehr wie man auf die fehlenden Koordinaten kommen kann. Einzig hängengeblieben ist, dass alle Seiten gleich lang sind und man dass irgendwie so rechnen kann, dass man einen Vektor nimmt und diesen dann mit einem Ortsvektor addiert.
Aber wie man das genau umsetzen soll, weiß ich nicht.

ich hoffe mir kann jemand helfen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Parallelverschiebung
Raummessung
Rechnen mit Vektoren - Einführung

Flächenmessung
Parallelverschiebung
Raummessung

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Alexxa

15:51 Uhr, 06.04.2014

Hallo! Also es gibt zwei Möglichkeiten, um die Koordinaten der restlichen Punkte zu bestimmen.
Einerseits kannst du den Würfel in ein Koordinatensystem einzeichnen und die Punkte ablesen.
Du kannst die Koordinaten aber auch ausrechnen.

Was wäre dir lieber? Ich kann dir beides erklären :-D)

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15:54 Uhr, 06.04.2014

Lieber ausrechnen, so wie ich es anfangs beschrieben habe,könnte ja sein, dass man das im Abitur nur ausrechnen kann, falls überhaupt sowas dran kommt.

Alexxa

16:09 Uhr, 06.04.2014

Okay, :-) trotzdem ist es immer besser sich eine Skizze zu machen ;-)

Als erstes würde ich den Vektor ausrechnen, den du schon ausrechenn kannst, da du alle nötigen Angaben hast.
Das wäre der Vektor von

(A \to B) = (\begin{matrix} 3 - 3 \\ 6 - 2 \\ 1 - 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

Die Länge des Vektors wäre also

| A \to B | = \sqrt{0^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = 4

Wie du ja bestimmt noch weißt, kann man Vektoren beliebig im Raum verschieben, also kannst du diesen Vektor mit dem von Punkt

E

F,

von

H

G,

und von

D

C

gleichsetzen.

So weit verstanden? :-)

PS: jetzt könnte man wieder auf zwei Arten weiter machen. Entweder argumentierst du über die Skizze oder du rechnest alles stumpf aus. :-)
Ich würde dir aber empfehlen über die Skizze zu argumentieren, solange es schnell gehen soll. ;-)

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16:18 Uhr, 06.04.2014

Ehm mit dem Verschieben hab ich im Unterricht noch nichts gehört, was bringt mir das? Und warum kann ich den Vektor mit den Punkten gleichsetzen ?

Alexxa

16:25 Uhr, 06.04.2014

Naja, ein Vektor gibt ja nur den Weg an, über den ein Punkt auf einen anderen "geschoben" wird. Es ist egal wo der Punkt liegt, der Verschoben wird.

Zum Beispiel in diesem Würfel wird der Punkt A ja nur um 4 nach rechts "getragen" um auf Punkt

B

zu kommen. Also hat der Vektor von A zu

B

die Koordinaten

(\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

Wenn du aber von Punkt

D

zu Punkt

C

gehen möchtest, musst du ja auch nur 4 nach rechts gehen. Also lautet der Vektor hier auch

(\begin{matrix} 0 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})

. Also sind beides der gleiche Vektor.

War das einigermaßen verständlich? :-)

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16:33 Uhr, 06.04.2014

einigermaßen, aber wie muss ich jetzt nochmal genau vorgehen, um einen neuen Punkt zu kriegen?

Alexxa

16:42 Uhr, 06.04.2014

Ich würde jetzt einfach auf der Skizze gucken, um wie viele Einheiten man sich in welche Richtung "bewegen" musst, um von einem Punkt zum anderen zu kommen. Bei diesem Beispiel bietet sich das einfach an, da du die Seitenlängen hast und mindesten einen Punkt angegeben hast.

BSP:
Ortsvektor

A +

Richtungsvektor AD = Ortsvektor

D

\vec{a} + (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = \vec{d}

(\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

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16:52 Uhr, 06.04.2014

was ist wenn man das ohne skizze macht? dann weiß man ja nicht dass der AD=

(\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

ist

Alexxa

17:28 Uhr, 06.04.2014

Doch klar weiß man das :-D)

Es ist allgemein Festgelegt, dass man Figuren von unten links und dann gegen den Uhrzeigersinn beschriftet (also ist das auf der Skizze so festgelegt).

Dann hast du schon richtig gesagt, dass dies ein Würfel ist und daher alle Seiten gleich lang sind. Also berechne ich zuerst den Vektor von A zu

B

und dann seine Länge. Der Vektor AB hat die gleiche Länge wie die Strecke AB (also eine Seite des Würfels).
Also sind hier alle Seiten des Würfels 4cm lang. (Siehe Rechnung in einem vorherigen Beitrag)

Wenn du nun bei Punkt A bist und zu Punkt

D

willst, gehst du ja nur auf der

x_{1}

Achse 4 Schritte nach Hinten (nicht nach rechts/links und nicht nach oben/unten). Also lautet der Vektor

(A \to D) = (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

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17:34 Uhr, 06.04.2014

Ich hab in der Zwischenzeit ne andere Aufgabe versucht zu lösen und wollte jetzt ma fragen ob das so stimmt.

Ein Quader ABCDEFGH hat die Ecken

A (- 2 | 0 | 0), B (1 | 0 | 0), C (1 | - 1 | 0)

und

G (1 | - 1 | 3)

Geben Sie die Koordinaten der Ecken

D, E, F

und

H

an.

D (- 2 | - 1 | 0)

E (- 2 | 0 | 2)

F (1 | 0 | 2)

H (- 2 | 2 | 3)

stimmen die Koordinaten?

Alexxa

17:48 Uhr, 06.04.2014

D

stimmt,
bei

E

und

F

sind jeweils die letzte Koordinate falsch
und bei

H

stimmt die zweite Koordinate nicht...

Wenn du dir Einen Quader vorstellst sind die gegenüberliegenden Seiten

(a, b

und

c)

immer gleich lang. Also hat ein Quader nur eine Höhe

c,

eine Länge

b,

und eine Breite

a

.
Als Breite musst du dir die erste Koordinate vorstellen, als Länge die zweite und als Höhe die dritte, als

(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})

Wenn du jetzt zwei verschiedene Höhen vorgegeben hast

(0

und

3)

weißt du, dass der Gesamte Quader die Höhe 3 hat.
In diesem Beispiel heißt es, dass der Quader auf dem Boden liegt und 3cm hoch ist. Also kann er nicht plötzlich an irgendeiner Stelle nur 2cm hoch sein, da es dann kein Quader mehr wäre.

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17:52 Uhr, 06.04.2014

H (- 2 | - 1 | 3)

aber bei

E

und

F

finde ich den Fehler nicht.

Edit: hab den Fehler glaub ich:

E (- 2 | 0 | 3)

F (1 | 0 | 3)

Alexxa

17:56 Uhr, 06.04.2014

Ja, jetzt stimmt es :-)

Hast du denn jetzt auch die Quader-Aufgabe verstanden?

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18:05 Uhr, 06.04.2014

nee wieso überhaupt

- 4

? weil es von 3 zu

- 1 - 4

einheiten sind

Alexxa

18:08 Uhr, 06.04.2014

weil du auf der

x_{1}

Achse um 4 Einheiten nach hinten gehst. (also ja, weil

- 1 - 3 = - 4

ist)

Wie du jetzt ja auch bei der Quader-Aufgabe gesehen hast, gibt es immer nur zwei Zahlen, die du für die Koordinaten einsetzten kannst. Die sind hier schon vorgegeben:
für die

x_{1}

Koordinate

3; - 1

(Differenz

4)

für die

x_{2}

Koordinate

6; 2

(Differenz

4)

für die

x_{3}

Koordinate

5; 1

(Differenz

4)

(Dies sind also die einzigen Zahlen, die du für die jeweiligen Koordinaten rausbekommen kannst) Kannst du ja zum Prüfen deiner Ergebnisse verwenden ;-)

Alexxa

18:24 Uhr, 06.04.2014

\vec{a} = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 1 \end{matrix})

\vec{b} = (\begin{matrix} 3 \\ 6 \\ 1 \end{matrix})

\vec{c} = \vec{b} + (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

\vec{d} = \vec{a} + (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

\vec{e} = \vec{a} + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})

\vec{f} = \vec{b} + (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix})

\vec{g} = (\begin{matrix} - 1 \\ 6 \\ 5 \end{matrix})

\vec{h} = \vec{g} + (\begin{matrix} 0 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})

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18:26 Uhr, 06.04.2014

Ich blick bei dieser Aufgabe einfach nicht durch. Wieso

- 4

das hab ich eigentlich verstanden, aber warum als x2-Koordinate und x3-Koordinate

0, (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

Alexxa

18:29 Uhr, 06.04.2014

Weil du dich ja NUR nach hinten bewegst. Du änderst die Position weder nach rechts/links

(x_{2}

Koordinate) noch nach oben/unten

(x_{3}

Koordinate).

(\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

ist ja nur der Vektor, den du mit dem Ortsvektor deines Punktes

A, B, E

oder

F

addieren musst um auf den Ortsvektor des Punktes

D, C, H

oder

G

zu kommen. :-)

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