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Vektorfeld, Satz von Gauß und Stokes

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Satz von Gauss, Satz von Stokes, Vektorfeld

CarlaColumna aktiv_icon

09:23 Uhr, 02.05.2014

Hallo liebes Onlinemathe-Team,

Bei

a)

muss ich den Fluss des Vektorfeldes

\vec{a} = {(2 y, x,3 z)}^{T}

durch die Oberfläche einer Kugel mit dem Radus

R

um den Koordinatenursprung. Verifizieren Sie das Resultat mit dem Gaußschen Satz.

b)

Berechnen Sie für das Vektorfeld

\vec{a} = {(- y (x^{2} + y^{2}), x (x^{2} + y^{2}), x y z)}^{T}

das Linienintegral

\oint \vec{a} \cdot d \vec{r}

längs des in der

x

y-Ebene liegenden Kreises um den Koordinatenursprung mit dem Radius R. Überprüfen Sie das Resultat mit dem Stoke'schen Satz.

Zu

a)

Die Punkte auf der Kugelfläche mit dem Radius

r

und dem Zentrum im Ursprung können durch Kugelkoordinaten wie folgt parametrisiert werden:

x = r \cdot sin ϑ \cdot cos ϕ

y = r \cdot sin ϑ \cdot sin ϕ (0 \leq ϑ \leq π \land 0 \leq ϕ < 2 π)

z = r \cdot cos ϑ

.

Der Vektorfluss genannt ist auch das als Flussdichte bezeichnete Vektorfeld über die Fläche A konstant, geht das Integral einfach in das Skalarprodukt über:

Φ = \vec{F} \cdot \vec{A}

.

Der Gaußsche Satz ist ja:

\int_{V} d i v \vec{F} d^{(n)} V = \oint_{S} \vec{F} \cdot \vec{n} d^{n - 1} S

Aber wie berechne ich das jetzt?

Zu

b)

Das Linienintegral ist ja über den Weg und die Parametrisierung definiert als:

Φ : [a, b] \to ℝ^{3}

\int F (s) \cdot d s = \int_{a}^{b} F (Φ (t)) \circ Φ' (t) \cdot d t

Für den Kreis kann ich ja die bekannte Parametrisierung verwenden sprich:

Φ : [0,2 π] \to ℝ^{3}, Φ (t) = {(r \cdot cos (t), r \cdot sin (t),0)}^{T}

Da es ja in der XY-Ebene liegen soll, ist ja

Z

einfach Null?

Liege ich hier falsch mit meinen Vermutungen, wenn ja wäre ich dankbar für Korrekturen und Veranschaulichung bzw. Erklärungen wie ich die Probleme angehen soll.

Ansonsten schon mal danke und liebe Grüße

Carla

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

grooc aktiv_icon

17:14 Uhr, 02.05.2014

zu a) was ist denn

\vec{n}

bei einer Kugel? Am einfachsten wäre es wenn du n in Kugelkoordinaten ausdrückst.

Zusätzlich brauchst du noch die Divergenz von F (in deinem Fall

\vec{a}

) und die Integrationsgrenzen für die Kugel (stehen in jeder guten Formelsammlung zu dem Thema)

CarlaColumna aktiv_icon

17:40 Uhr, 02.05.2014

\vec{n}

einer Kugel? Ist der Normalenvektor jetzt gemeint oder wie? Ja Kugelkoordinaten habe ich ja erwähnt, die Grenzen sind auch bekannt, nur einem Handwerker nützt auch das beste Handwerkzeugs nicht, wenn er zwei linke Hände hat :-D)

d i v \vec{a} = 3

LG Carla

grooc aktiv_icon

17:50 Uhr, 02.05.2014

Also um mal den Ansatz zu vervollständigen: (habe selbst gerade mal nachgesehen und entdeckt das ich dV ganz vergessen habe ... und man

\vec{n}

nur beim Flächenintegral braucht

d V = r^{2} * \sin (ϑ) * d r * d ϑ * d φ

d i v (\vec{a}) = (2 + 1 + 3) = 6

0 \leq r \leq R

0 \leq ϑ \leq π

0 \leq φ \leq 2 * π

somit ist das zu löende Integral für Gauß:

ψ = \int \int d i v (\vec{a}) * d V

einsetzen und ausrechnen ....

PS für den anderen Ansatz

\vec{n} = (1, 0, 0)^{T}

(ja es ist der Normalenvektor gemeint, der senkrecht auf der Oberfläche steht. Bei einer geschlossenen Kugel ist es =

\vec{r}

bei einer Halbkugel sieht das wiederum anders aus. Da betrachtet man die Teilflächen für sich.)

CarlaColumna aktiv_icon

18:05 Uhr, 02.05.2014

Ja habe mich bei der Divergenz verhauen. Muss es aber nicht ein dreifach Integral sein und nicht ein doppeltes Integral beim Gauß? Sind ja auch drei Bereiche für die Grenzen.

Mit dem Normalenvektor und die Berechnung ohne Verwendung des Satzes von Gauß ist mir noch nicht klar.

Danke LG Carla

grooc aktiv_icon

18:37 Uhr, 02.05.2014

Ja dreifach ist richtig. Für das Oberflächenintegral brauchst du ein

d A

. Das ist abhängig in welchen Koordinaten du es lösen willst.

d A_{k u g e l} = r^{2} * \sin (ϑ) * d ϑ * d φ

der Vector

\vec{a}

muss noch in Kugelkoordinaten transformiert werden. dafür gibt es eine Transformationsmatrix

A = (\begin{array}{rcl} s i n ϑ c o s φ & \ c o s ϑ c o s φ & \ - s i n φ \\ s i n ϑ s i n φ & \ c o s ϑ s i n φ & \ c o s φ \\ c o s ϑ & \ - s i n ϑ & \ 0 \end{array})

"" <- der ist nur ein Trenner!!

F (r, ϑ, φ) = A * F (x, y, z)

Sandsack aktiv_icon

19:50 Uhr, 02.05.2014

div(a)=3!!!

grooc aktiv_icon

19:54 Uhr, 02.05.2014

sorry div(a) ist doch 3. ich seh's ein :-)

CarlaColumna aktiv_icon

08:03 Uhr, 03.05.2014

Ja der Vektor

\vec{a}

muss noch in Kugelkoordinaten transformiert werden, aber was ist das für eine Transformationsmatrix die du da hast?

Ich meine man setzt doch nur für

\vec{a} = (2 y, x, 3 z)

für jeweils die Koordinate foldendes ein:

x = r \cdot sin ϑ \cdot cos ϕ

y = r \cdot sin ϑ \cdot sin ϕ

z = r \cdot cos ϑ

.

Aber dementsprechend ist die Divergenz auch was anderes?

Das Skalarprodukt mit dem Flächen- bzw. Volumenelement dA bzw. dV kann ich berechnen
aber mit welcher Divergenz jetzt?

Die Divergenz von

\vec{a}

wäre dann wie definiert?

\frac{\partial}{\partial r} + \frac{\partial}{\partial φ} + \frac{\partial}{\partial θ}

? ? ?

Danke LG Carla

DrBoogie aktiv_icon

17:20 Uhr, 05.05.2014

"Die Divergenz von a→ wäre dann wie definiert?"

Divergenz in Kugelkoordinaten steht hier:
http//de.wikipedia.org/wiki/Kugelkoordinaten.

Da steht im Prinzip alles, was man für diese Aufgabe braucht, aber ´das stimmt natürlich mit den Werkzeugen und dem Handwerker. :-) Noch bin ich selber nicht in der Lage, die Lösung aufzuschreiben.

CarlaColumna aktiv_icon

19:07 Uhr, 05.05.2014

Oh, ja da hätte mehr von meiner Seite aus kommen können.

d i v \vec{F} = \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial}{\partial r} (r^{2} F_{r}) + \frac{1}{r sin θ} \frac{\partial}{\partial θ} (F_{θ} sin θ) + \frac{1}{r sin θ} \frac{\partial F_{ϕ}}{\partial ϕ}

Aber nun ja vllt verwirrt mich die Notation...
Diese Abhängigkeiten verwirren mich, also das in den Klammern, bzw. was sagt mir das? (Das in Klammern) die Abhängigkeit, oder?

Ansonsten muss ich die Ableitungen bilden und mit den Vorfaktoren multiplizieren und dann zusammenaddieren?

DrBoogie aktiv_icon

19:26 Uhr, 05.05.2014

Das in Klammern ist nur die kurze Schreibweise, für die konkrete Berechnung muss man ausklammern, also in diesem Fall ableiten, nach der Produktregel.

CarlaColumna aktiv_icon

19:34 Uhr, 05.05.2014

Produktregel im Sinne von den Komponenten des Vektorfeldes multipliziert mit den Vorfaktoren?

DrBoogie aktiv_icon

19:39 Uhr, 05.05.2014

Produktregel für die Ableitung. Auch für partielle Ableitung.

Z.B.

\frac{\partial r^{2} f (r)}{\partial r} = \frac{2 r f (r)}{\partial r} + \frac{r^{2} \partial f (r)}{\partial r}

CarlaColumna aktiv_icon

20:02 Uhr, 05.05.2014

Produktregel im Sinne von ich leite das erste nach

r

ab und addiere mit der Ableitung von der zweiten Funktion?

DrBoogie aktiv_icon

20:09 Uhr, 05.05.2014

Also, was haben wir in a).
Das Vektorfeld

\vec{a} = (2 y, x, 3 z)^{T}

sieht in den Kugelkoordinaten so aus:

\vec{a} = (\begin{array}{rcl} 2 R \sin ϑ \sin ϕ \\ R \sin ϑ \cos ϕ \\ 3 R \cos ϑ \end{array})

.

Für den Fluss haben wir die Formel

\int_{A} \vec{a} \cdot d \vec{A}

mit der Oberfläche

A

und dem Differential

d \vec{A}

. Für

d A

(also für den Betrag von

d \vec{A}

) haben in Kugelkoordinaten die Formel

d A = R^{2} \sin (ϑ) d ϑ d ϕ

. Der Ausdruck

\vec{a} \cdot d \vec{A}

bedeutet Skalarprodukt. Dabei ist

d \vec{A} = (d A) \vec{n}

mit

\vec{n} = (\begin{array}{rcl} \sin ϑ \cos ϕ \\ \sin ϑ \sin ϕ \\ \cos ϑ \end{array})

- die Normale zu

A

.
Für Skalarprodukt haben also

\vec{a} \cdot d \vec{A} = (3 R \sin^{2} (ϑ) \sin ϕ \cos ϕ + 3 R \cos^{2} (ϑ)) R^{2} \sin (ϑ) d ϑ d ϕ

.
Gut, jetzt bleibt noch zu verstehen, was sind die Integrationsgrenzen. Für

ϑ

geht es von

0

bis

π

und für

ϕ

geht es von

0

bis

2 π

.

Also, insgesamt haben das folgende Integral:

\int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} (3 R \sin^{2} (ϑ) \sin ϕ \cos ϕ + 3 R \cos^{2} (ϑ)) R^{2} \sin (ϑ) d ϑ d ϕ

.
Sieht echt schön aus. :-) Aber definitiv lösbar.
Hoffentlich habe ich nirgendwo Fehler gemacht.

DrBoogie aktiv_icon

20:16 Uhr, 05.05.2014

"Produktregel im Sinne von ich leite das erste nach r r ab und addiere mit der Ableitung von der zweiten Funktion?"

Nein. Ich habe doch geschrieben, was ich meine. :-O
Produktregel:

(f g)^{ʹ} = f^{ʹ} g + g^{ʹ} f

. Gilt genauso für partielle Ableitungen.
OK, ich zeige es auch am Beispiel des zweiten Summandes:

\frac{\partial (F \sin ϑ)}{\partial ϑ} = F \cos ϑ + \sin ϑ \frac{\partial F}{\partial ϑ}

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20:27 Uhr, 05.05.2014

Übrigens für a) musst Du die Divergenz gar nicht in Kugelkoordinaten berechnen.
Denn sie ist

3

in kartesischen, kann also auch in anderen Koordinaten nichts Anderes sein. grooc hat es Dir schon geschrieben.

DrBoogie aktiv_icon

20:33 Uhr, 05.05.2014

Wenn Du das große Integral, was ich aufgeschrieben haben, zu Ende integrierst, bekommst Du

4 π R^{3}

. (Benutze, dass

\int_{0}^{2 π} \sin ϑ \cos ϑ d ϑ = 0

).
Wenn Du aber Divergenz von

\vec{a}

über die Kugel integrierst, bekommst Du einfach 3-mal das Volumen der Kugel, denn

d i v (\vec{a}) = 3

und deshalb

\int_{V} d i v (\vec{a}) d V = 3 \int_{V} d V = 3 ∣ V ∣

, wo

V

- Kugel ist. Und dieses Volumen ist

4 π R^{3} / 3

. Also ist das Integral von Divergenz ebenfalls

4 π R^{3}

, wie es nach dem Gausschen Satz auch sein soll.
Damit ist a) fertig.

DrBoogie aktiv_icon

20:55 Uhr, 05.05.2014

So, jetzt zu b).

Mit Polarkoordinaten in der Ebene

x, y

(

x = R \cos φ

y = R \sin φ

)und

z

unverändert (also eigentlich mit zylindrischen Koordinaten) haben wir

\vec{a} = (- R^{3} \sin φ, R^{3} \cos φ, 0)

in der

x, y

-Ebene auf dem besagten Kreis.
Für

d \vec{r}

haben wir

d \vec{r} = (- R \sin φ, R \cos φ)

und anschließend

\vec{a} \cdot d \vec{r} = R^{4} \sin^{2} (φ) + R^{4} \cos^{2} (φ) = R^{4}

(das

\cdot

bedeutet wieder das Skalarprodukt).
Und das Integral ist jetzt einfach zu berechnen:

\int \vec{a} \cdot d \vec{r} = \int_{0}^{2 π} R^{4} d φ = 2 π R^{4}

DrBoogie aktiv_icon

21:11 Uhr, 05.05.2014

b) Fortsetzung :-)

Jetzt brauchen wir die Rotation von

\vec{a}

.
Wir berechnen sie noch in kartesischen Koordinaten, ist einfacher so.
Nach den Formeln:

r o t (\vec{a}) = ((\frac{\partial a_{z}}{\partial y} - \frac{\partial a_{y}}{\partial z}), (\frac{\partial a_{x}}{\partial z} - \frac{\partial a_{z}}{\partial x}), (\frac{\partial a_{y}}{\partial x} - \frac{\partial a_{x}}{\partial y})) = (x y, - y z, 3 x^{2} + y^{2} + 3 y^{2} + x^{2}) =

= (x y, - y z, 4 (x^{2} + y^{2}))

.
Wenn wir in der

x, y

-Ebene sind, dann haben wir

z = 0

und

x^{2} + y^{2} = r^{2}

und insbesondere

r o t (\vec{a}) = (0, 0, 4 r^{2})

, wenn

r

aus den zylindrischen Koordinaten (

x = r \cos φ, y = r \sin φ

) kommt.

So, jetzt müssen wir

r o t (\vec{a})

nur noch über den Kreis des Radiuses

R

um den Ursprung integrieren. Da wir aber eigentlich

r o t (\vec{a}) \cdot \vec{d K}

integrieren, also Skalarprodukt von Rotation und Flächendifferential, müssen zuerst

\vec{d K}

bestimmen. Die Richtung ist klar -

\vec{d K}

muss senkrecht zu

x, y

-Ebene seine, also sind die

x, y

-Komponenten

= 0

, und seine

z

-Komponente ist

r d r d φ

in zylindrischen Koordinaten. Damit ist klar, dass

r o t (\vec{a}) \cdot \vec{d K} = 4 r^{3} d r d φ

.

Das Integral ist nun

\int_{K} r o t (\vec{a}) \vec{d K} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{R} 4 r^{3} d r d φ = \int_{0}^{2 π} R^{4} d φ = 2 π R^{4}

.

Damit haben wir auch den Stokesschen Satz bestätigt. b) ist fertig.

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21:48 Uhr, 05.05.2014

Super, erstmal großen Dank. Ohne die Hilfe wäre ich aufgeschmissen.

Zu

a)

erstmal, weiß ich nicht wie man auf die Normale kommt, also den Normalenvektor. Beim Lösen des Integrals komme ich am Ende auf Null, habe da wohl was falsch gemacht

: (

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21:56 Uhr, 05.05.2014

Normalvektor auf der Kugeloberfläche mit dem Radius

1

ist einfach der Vektor zwischen dem Zentrum und dem Punkt selber (in Koordinaten ist es der Vektor

(x, y, z)

) - ist leicht zu sehen, dass dieser Vektor tatsächlich senkrecht zur Oberfläche ist. Und bei der Kugeloberfläche mit dem Radius

R

musst Du den Vektor zwischen dem Zentrum und dem Punkt selber nur durch

R

teilen, um die Normale zu bekommen (sie muss Länge

1

haben). Also hat der Normalvektor im Punkt

(x, y, z)

Koordinaten

(x / R, y / R, z / R)

.

Beim Integral - kleiner Hinweis:

\int_{0}^{π} \cos^{2} (ϑ) \sin (ϑ) d ϑ = 2 \int_{0}^{π / 2} \cos^{2} (ϑ) \sin (ϑ) d ϑ = - \int_{0}^{π / 2} \cos^{2} (ϑ) d \cos (ϑ) = - \int_{1}^{0} t^{2} d t = 1 / 3

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22:07 Uhr, 05.05.2014

Das mit der Normale ist mir denke ich klar geworden. Für Kugelkoordinaten ist doch egal was ich integriere die Normale doch somit gleich?

Bei der Aufteilung des Integrals bzw. Umschreibung ist mir jedoch nichts klar, also sehr wenig. Der erste Schritt, okay Aufteilung, sprich zweimal, aber danach?

: (

und den direkt Bezug zu dem Integral das ich berechnen muss fehlt mir ein wenig.

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23:07 Uhr, 05.05.2014

"Für Kugelkoordinaten ist doch egal was ich integriere die Normale doch somit gleich?"
Was Du damit fragen wolltest, konnte ich nicht entschlüsseln :-)

Und bei der Frage nach dem Integral würde ich gerne wissen, welches Integral Du meintest.

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23:14 Uhr, 05.05.2014

Das Integral aus Beitrag um

21 : 56

Uhr,

05.05.2014

(letzten beide Schritte) und wie das hilfreich bei der eigentlichen Berechnung sich auswirkt.

Die andere Frage war nun ja, wie soll ich das anders formulieren, weiß nicht, dass ich mir den Normalenvektor der Kugelkoordinaten als Vokabel so merken kann egal welche Integrale bzw. Volumina ich damit berechne

(\in

Kugelkoordinaten)

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23:22 Uhr, 05.05.2014

"Das Integral aus Beitrag um 21:56 Uhr, 05.05.2014 (letzten beide Schritte) und wie das hilfreich bei der eigentlichen Berechnung sich auswirkt."

Der vorletzte Schritt ist die Substitution

\cos (ϑ) = t

. Der letzte ist die Berechnung vom Integral von

t^{2}

, da kann ich dir nicht helfen, das musst du schon können, tut mir leid.

"Die andere Frage war nun ja, wie soll ich das anders formulieren, weiß nicht, dass ich mir den Normalenvektor der Kugelkoordinaten"

Es gibt keinen Normalevektor der Kugelkoordinaten. Ein Normalvektor hängt immer von der Fläche ab, zu welcher er ja normal ist. In diesem Fall ist es die Kugeloberfläche.

CarlaColumna aktiv_icon

23:31 Uhr, 05.05.2014

Das bezeichnet als schöne Integral kriege ich trotzdem nicht berechnet

: (

Ich meine das ist alles ein Produkt und die Tipps kann ich doch nicht einfach dort einbauen, jedenfalls weiß ich nicht wie.

DrBoogie aktiv_icon

23:48 Uhr, 05.05.2014

Schlecht. :(

Es geht so:

\int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} (3 R \sin^{2} (ϑ) \sin ϕ \cos ϕ + 3 R \cos^{2} (ϑ)) R^{2} \sin (ϑ) d ϑ d ϕ =

\int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} 3 R \sin^{2} (ϑ) \sin ϕ \cos ϕ R^{2} \sin (ϑ) d ϑ d ϕ + \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} 3 R \cos^{2} (ϑ) R^{2} \sin (ϑ) d ϑ d ϕ =

3 R^{3} \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \sin^{3} (ϑ) \sin ϕ \cos ϕ d ϑ d ϕ + 3 R^{3} \int_{0}^{π} \int_{0}^{2 π} \cos^{2} (ϑ) \sin (ϑ) d ϑ d ϕ =

3 R^{3} \int_{0}^{π} \sin^{3} (ϑ) (\int_{0}^{2 π} \sin ϕ \cos ϕ d ϕ) d ϑ + 3 R^{3} \int_{0}^{2 π} (\int_{0}^{π} \cos^{2} (ϑ) \sin (ϑ) d ϑ) d ϕ

(1)

Jetzt berechnen die inneren Integrale:

\int_{0}^{2 π} \sin ϕ \cos ϕ d ϕ = \int_{0}^{2 π} \sin ϕ d \sin (ϕ) = \frac{1}{2} \int_{0}^{2 π} d \sin^{2} (ϕ) = \frac{1}{2} (\sin^{2} (2 π) - \sin^{2} (0)) = 0

\int_{0}^{π} \cos^{2} (ϑ) \sin (ϑ) d ϑ = - \int_{0}^{π} \cos^{2} (ϑ) d \cos (ϑ) = - \frac{1}{3} \int_{0}^{π} d (\cos^{3} (ϑ)) = - \frac{1}{3} (\cos^{3} (π) - \cos^{3} (0)) = \frac{2}{3}

Weiter mit dem großen Integral:
(1)

= 0 + 3 R^{3} \int_{0}^{2 π} \frac{2}{3} d ϕ = 3 R^{3} \frac{2}{3} 2 π = 4 π R^{3}

CarlaColumna aktiv_icon

00:19 Uhr, 06.05.2014

Vielen Dank, dem Grundprinzip kann ich folgen, werde es mir aber noch morgen in der Früh ansehen. Danke nochmal vielmals und gute Nacht.

Carla :-)

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